升级增分训练最值、范围、存在性问题1．(2016 ·贵阳监测考试 )已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞ b＞0)的离心率为63 ，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2．(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若在 x 轴上存在一点E，使∠ AEB＝90°，求直线l 的斜率 k 的取值范围．解： (1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有ca＝63 ，a－c＝3－2，解得 a＝3，c＝2，∴b2＝1，故椭圆 C 的方程为 y23 ＋x2＝1．(2)由已知可得，直线l 的方程为 y＝ kx＋2，以 AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点为 M (x0，y0)，将直线 l：y＝kx＋2 代入 y23 ＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，则 Δ＝12k2－12＞0，x1＋x2＝－4k3＋ k2，x1x2＝13＋k2．∴x0＝x1＋x22＝－2k3＋k2，y0＝kx0＋2＝63＋ k2，|AB|＝1＋k2·x1＋x22－ 4x1x2＝1＋ k2·12k2－123＋k2＝23k4－13＋k2，∴Δ＝12k2－12＞ 0，63＋k2≤12|AB|，解得 k4≥13，即 k≥ 413或 k≤－413．故所求斜率的取值范围为(－∞，－ 4 13]∪[ 4 13，＋ ∞)．2．(2016 ·西安质检 )如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32 ，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y 的准线上．(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)点 P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆上， A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点，当A，B 运动时，满足∠APQ＝∠ BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆 C 的标准方程为 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞ 0)． 椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝ 8y 的准线 y＝－ 2 上，∴－b＝－ 2，解得 b＝2．又ca＝32 ，a2＝b2＋c2，∴a＝4， c＝23．可得椭圆 C 的标准方程为 x216＋y24 ＝1．(2)设 A(x1， y1)，B(x2，y2)， ∠APQ＝∠BPQ，则 PA，PB 的斜率互为相反数，可设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为－ k，直线 PA 的方程为： y－3＝k(x－2)，联立y－3＝k x－2 ，x2＋ 4y2＝16，消去 y，得(1＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝8k 2k－31＋4k2．同理可得： x2＋2＝－8k －2k－31＋4k2＝8k 2k＋31＋4k2，∴x1＋x2＝16k2－41＋4k2 ，x1－ x2＝－163k1＋4k2 ，kAB＝y1－y2x1－x2＝k x1＋ x2 －4kx1－x2＝36 ．∴直线AB 的斜率为定值36 ．3．(2016 ·贵阳期末 )已知椭圆 C 的两个焦点是...
