南京信息工程大学试卷学年 第 1 学期高等数学课程试卷 ( B 卷) 本试卷共页；考试时间 120 分钟；任课教师课程组；1. 当0xx 时，,xx 都是无穷小，则当0xx 时（D ）不一定是无穷小 . (A) xx(B) xx22(C) )()(1lnxx(D) )()(2xx2. 极限axaxax1sinsinlim的值是（C ）. （A） 1 （B） e（C）aecot（D）aetan3.001sin)(2xaxxexxfax在0x处连续，则 a=（D ）. （A） 1 （B） 0 （C） e（D）14. 设)(xf在点 xa处可导，那么hhafhafh)2()(lim0（A ）. （A）)(3af（B）)(2af(C) )(af（D）)(31af二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. 极限)0(ln)ln(lim0axaaxx的值是a1. 6. 由xxyeyx2cosln确定函数y( x)，则导函数yxxeyexyxxyxyln2sin2. 7. 直线 l 过点 M ( , , )1 2 3 且与两平面 xyzxyz20 2356,都平行，则直线 l 的方程为131211zyx. 8. 求函数2)4ln(2xxy的单调递增区间为（－，0）和（ 1，+）.三、解答题（ 本大题有 4 小题，每小题8 分，共 32 分）9. 计算极限10(1)limxxxex. 解：11 ln(1) 12000(1)1ln(1)limlimlim2xxxxxxxeexxeeexxx10. 设)(xf在[ a，b]上连续， 且],[)()()(baxdttftxxFxa，试求出)(xF。解：xaxadtttfdttfxxF)()()(xaxadttfxxfxxfdttfxF)()()()()()()(xfxF11. 求3cos.sinxxdxx解：23cos1sinsin2xxdxxdxx2221111sinsinsincot2222xxxdxxxxC四、解答题（ 本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）12.求23221xxdx.令 1xt212322)1(1111dtttt原式dtt121232arcsin t1232613.求函数212xxy的极值与拐点 .解：函数的定义域（－，+ ）22 )1()1)(1(2xxxy322)1()3(4xxxy令0y得 x 1 = 1, x 2 = -10)1(yx 1 = 1 是极大值点，0)1(yx 2 = -1 是极小值点极大值1)1(y，极小值1)1(y令0y得 x 3 = 0, x 4 = 3 , x 5 = -3x (-,-3 ) (-3 ,0) (0, 3 ) (3 ,+) y－+ －+ 故拐点（ -3 ，-23），（ 0，0）（3 ，23）14.求由曲线43xy与23xxy所围成的平面图形的面积 .解 :,,xxxxxx3232431240x xxxxx()(),,,.620602123 Sxxxdxxxxdx()()326023024334()()xxxxxx42360234021632332316452 1347 1315.设抛物线24xy上有两点( 1,3)A，(3, 5)B，在弧A B 上，求一点( , )P x y 使ABP 的面积最大 .AByxABPABxyxxxABP连线方程： 点 到的距离 的面积2104 5215235132() S xxxxx( )()124 523522322 当 SxxxSx( )( )4410 当时取得极大值也是最大值SxxS x( )( )401此时 所求点为，y313()另解：由于的底一定 故只要高最大而过点的抛物线的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使 解得所求点为ABCABCABC xxfxxxC,,,(),(),,( , )002000425331211 3六、证明题（ 本大题 4 分）16.设0x，试证xxex1)1(2.证明：设0),1()1()(2xxxexfx1)21()(2xexfx，xxexf24)(，0)(,0xfx，因此)(xf在（ 0，+）内递减。在（ 0，+）内，)(,0)0()(xffxf在（ 0，+）内递减，在（ 0，+）内，),0()(fxf即0)1()1(2xxex亦即当x>0 时，xxex1)1(2试证xxex1)1(2.
