高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组1 第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式， 掌握不定积分的性质， 掌握换元积分法 （第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。教学难点：1、 换元积分法；2、 分部积分法；3、 三角函数有理式的积分。§4 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1如果在区间 I 上可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任一 x I都有F (x) f(x)或 dF(x) f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数例如 因为 (sin x) cos x所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时因为xx21)(所以x 是x21的原函数提问: cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 I 上连续那么在区间 I 上存在可导函数F(x)使对任一 xI 都有F (x) f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数f(x)在区间I 上有原函数F(x)那么 f(x)就有无限多个原函数F(x) C 都是 f(x)的原函数其中 C 是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数则高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组2 (x) F(x) C(C 为某个常数 )定义 2 在区间 I 上函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分记作dxxf)(其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx 称为被积表达式x 称为积分变量根据定义如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数那么 F(x) C 就是 f(x)的不定积分即CxFdxxf)()(因而不定积分dxxf)(可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数所以Cxx d x s i nc o s因为x 是x21的原函数所以Cxdxx21例 2. 求函数xxf1)(的不定积分解：当 x>0 时(ln x)x1Cxdxxln1(x>0)当 x<0 时[ln( x)]xx1)1(1Cxdxx)ln(1(x<0)合并上面两式得到Cxdxx||ln1(x 0)例 3 设曲线通过点 (1 2)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为y f(x)按题设曲线上任一点 (x y)处的切线斜率为 y f(x) 2x, , 高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组3 即 f(x)是 2x ...
