一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： X=aacbb242 (b2-4ac≥ 0)（ 1 ） x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1--22123一元二次方程的根与系数的关系：如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是 X1 , X2 ,那么 X1+x2= , X1x2= ab-ac（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0 韦达（ 1540 － 1603 ） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242 aacbb242 +=ab22=ab-X1x2=aacbb242 aacbb242 ●=242)42(2)(aacbb=244aac = ac如果方程 x2+px+q=0 的两根是X1 ， X2 ，那么 X1+X2= , X1X2=－ Pq 说出下列各方程的两根之和与两根之积：1 、 x2 - 2x - 1=02 、 2x2 - 3x + =03 、 2x2 - 6x =04 、 3x2 = 421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2= -234134例 1 、已知 3x2+2x-9=0 的两根是 x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x222111xx 解：由题意可知 x1+x2= - , x1 · x2=-332(1)2111xx= 2121xxxx =332= 92(2) (x1 ＋ x2)2 ＝ x12+x22 ＋ 2x1x2∴x12+x22 ＝ (x1 ＋ x2)2 -2x1x2＝ (- )232 -2×(-3) ＝ 694例 2 、已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是 2 , 求它的另一个根及 k 的值。解：设方程的另一个根为 x1.把 x=2 代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得 x1●2 ＝ 3k 即 2 x1 ＝－ 6 ∴ x1 ＝－ 3答：方程的另一个根是－ 3 , k 的值是－ 2 。 例 2 、已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一...
