3第 2 节 直 角 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算题目：给了有界闭区域及函数，计算。下面我们寻找计算的方法。首先，的计算与的特点有很大的关系。通常基本区域有两种：（看黑板图）（1）型区域由曲线围成，是在轴上的投影．（课本上说：穿过区域的内部且与轴平行的直线与区域的边界曲线的交点不多于两个．这与小边界和大边界都能写成函数是等价的。）（2）型区域由曲线围成，是在轴上的投影．12离 散 数 学 下面先设是型区域。的平面图参见图 2.3。 我们已经知道，当时，其中是以为高以区域为底的曲顶柱体的体积（图 2.2）（如果则二重积分是负体积，一般情况是体积的代数和）．只要体积计算出来了，也就得到了二重积分。分布在轴的区间。任意给定，设平面截曲顶柱体得到截面面积是，则我们先固定算出。截面是以为底以为高的曲边梯形（图 2.2）。所以因此，约定：。图2.3yxdc2( )xx y1( )xx yy图2.2zyOxDy13第 1 章 集 合方法总结：只要在上可积，如果是型区域，则（是在轴上的投影；小 x 边界和大 x 边界的找法：，截得截线如图 2.3。）如果是型区域，则（是在轴上的投影；小 y 边界和大 y 边界的找法：，截得截线）（把二重积分转化为做两次定积分！称为二次积分）里层积分的上下限总是外层变量的函数。做里层积分时，外层变量固定为常数。里层定积分的结果是外层变量的函数。小技巧：如果你只熟悉 （）型区域的计算，在整个题中，把改成把改成，区域就变型了。结果不变。 （黑板解析）上面的方法是总结出来的，没有严格的证明。我们也不去追求严格证明了。将二重积分转化为二次积分的关键是确定二次积分的积分限。得画出积分区域的草图，弄清楚的表示或围成的曲线． 若积分区域既不是型区域，又不是型区域，可利用重积分的可加性，把分割成若干型或型的部分进行计算。12离 散 数 学【 例 2.1 】 将 二 重 积 分化 为 二 次 积 分 ， 其 中为围成的位于第一象限部分的闭区域．解 画出三条曲线就得到区域的草图（图 2.4、图2.5），求出曲线的交点．(1)视为型区域（图 2.4），将投影到轴，得。小边 界， 大边 界。 区 域表 示 为，故．(2)视为型区域（图 2.5），将投影到轴，得。小边 界， 大边 界。 区 域可 表 示 为 ：，故．注 ①如果区域既是型又是型区域，二重积分可用二种不同次序的二次积分来计算．不同次序的二次积分，计算过程的繁简可能不同...
