函数的连续性2 高三数学第二章 极限全章课件 高三数学第二章 极限全章课件VIP免费

函数的连续性 (2)定义：设函数 f(x) 在 处及其附近有定义，而且0xx )()(lim00xfxfxx则称函数 f(x) 在点 处连续，0x称为函数 f(x) 的连续点。0x 函数 f （ x ）在点 x0 处连续必须同时具备三个条件：1 、 存在，即函数在点 x0 处有定义。)(0xf2 、 存在。)(lim0xfxx3 、 )()(lim00xfxfxx)(xf必须同时满足。二、单侧连续性：并且如果函数 在点 处及其右侧附近有定义0x)()(lim00xfxfxx则称 f(x) 在点 处右连续。0x)(xfxyO a类似地：则称 f(x) 在 处是左连续。如果函数 在点 x0 处及其左侧附近有定义，并且)()(lim00xfxfxx)(xf0xxyOa三、函数的连续性：1 、开区间内连续：如果 在某一开区间 内每一点处都连续，就说函数 f （ x ）在开区间（ a ， b ）内连续，或说 f （ x ）是开区间（ a ， b ）内的连续函数。 )(xf),(ba2 、闭区间上连续：如果函数 在开区间 内连续，在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，就说函数 在闭区间 上连续。)(xf),(baax bx )(xf],[ba如图：ox0xyab)(xfy ],[ba 指出下列函数在开区间（ 0 ， 1 ）内或闭区间 [0 ， 1] 上是否连续：xxglg)()1(xxxhsin)()2(从几何直观上看，闭区间 [a ， b] 上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任意 ，这时我们说闭区间 [a ，b] 上的连续函数 f （ x ）在点 x1 处有最大值 f（ x1 ），在点 x2 处有最小值 f （ x2 ）。 )()(),()(],,[21xfxfxfxfbaxox2x1baxy四、闭区间上连续函数的性质：)(1xf)(2xf性质 1 最大值最小值定理： 如果 f （ x ）是闭区间 [a ，b]上的连续函数，那么 f （ x ）在闭区间 [a ， b] 上有最大值和最小值。ox2x1baxy)(1xf)(2xf注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数 在点 x=1 处有最大值 1 ，在点 x=-1 处有最小值-1 （如图）])1,1[()(xxxfxyo1-1-11再如对二次函数 y=ax2+bx+c 来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。性质 2 如果函数 f （ x ）、 g （ x ）在某一点 x=x0 处连续，那么函数),()(xgxf),()(xgxf)0)((,)()(xgxgxf在点 x0 处都连续。若 令)()()(xgxfxh 因为函数 f （ x ）、 g （ x ）在 x=x0 处连续，所以函数 h （ x ）在 x=x0 处有定义)()()()(lim)(lim)]()([l...