数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件 北师大版选修2 2 课件VIP免费

第三章 导 数 应 用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性函数的单调性与导数符号的关系f ′(x) 在 (a ， b)上的正负y=f(x) 在 (a ， b)上的单调性正增加的负减少的【思考】(1) 函数 y=f(x) 的导数为 f ′(x) ，若函数 y=f(x) 是增加的，那么曲线 y=f(x) 上每一点处的切线的斜率的符号如何？提示：根据导数的几何意义，若函数 y=f(x) 是增加的，则 f ′(x)>0 ，即曲线 y=f(x) 上每一点处的切线的斜率大于零 .(2) 函数 y=f(x) 的导数是 f′(x)=x2-3x+2 ，由 f′(x)>0 解得 x<1 或 x>2 ，那么函数 y=f(x) 的递增区间是 (-∞ ， 1)∪(2 ， +∞) 吗？提示：不是，函数的单调区间不能用“∪”连接 .【素养小测】1. 思维辨析 ( 对的打“√”，错的打“ ×”)(1) 函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓” .( )(2) 函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” .( )(3) 若 f(x) 在区间 (a ， b) 上可导，则“ f′(x)>0”是“ f(x) 在 (a ， b) 上是增加的”的充要条件 .( )(4) 若 f(x) 的图像在 [a ， b] 上是一条连续曲线，且f(x) 在 (a ， b) 上 f′(x)<0 ，则 f(x) 在 [a ， b] 上是减少的 .( )【解析】 (1)×. 函数的导数的绝对值越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓” .(2)×. 函数的导数的绝对值越大，函数在该点处的切线越“陡峭” .(3)×. 反例： f(x)=x3 ，是增函数，但 f′(x) =3x2≥0.(4)√. 由函数的单调性与导数符号的关系可知其正确 .2. 函数 y=x+cos x 在 (-∞ ， +∞) 内是( )A. 增函数B. 减函数C. 有增有减D. 不能确定【解析】选 A.y′=1-sin x≥0 ，因此函数为增函数 .3. 若函数 y=x3+ax 在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是________. 【解析】因为 y′=3x2+a ，由题意得 3x2+a≥0 ， a≥-3x2在 R 上恒成立，因为 -3x2≤0 ，则 a≥0.答案： [0 ， +∞)4. 函数 y=ax3-1 在 (-∞ ， +∞) 上是减函数，则 a 的范围为 ________ . 【解析】因为 y′=3ax2≤0 恒成立，解得 a≤0. 而 a=0 时y=-1 不是减函数，所以 a<0.答案： a<0类型一 原函数与导函数图像之间的关系【典例】函数 y=f(x) 在定义域 内可导，其图像如图所示，记 y=f(x) 的导函数为 y=f′(x) ，则不等式f′(x)≤0 的解集是( )3(3)2...