参考答案（130911）如图，在△ABC 中，∠A＝，△ABC 的内角或外角平分线交于点 P，且∠P＝，试探求下列各图中与的关系，并选择一个加以说明。解：（1）β=90°+α；（2）β= α；（3）β=90°-α．解：在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∵BP 与 CP 是△ABC 的角平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB= ∠ACB，∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=90°- α．在△PBC 中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°- α）=90°+ α．∴β=90°+ α．解：图（2），结论：∠BPC= ∠A．证明如下：∵BP 与 CP 分别是∠ABC 与∠ACE 的角平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠ACE，∴∠P=∠PCD -∠PBC= （∠ACD-∠ABC）∵∠A =∠ACD-∠ABC ∴∠P = ∠A．∴β= α；（3）∵BP、CP 分别是△ABC 两个外角∠CBD 和∠BCE 的平分线，∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE，∵∠CBD =（∠A+∠ACB），∠BCP=（∠A+∠ABC）∠CBP =（∠A+∠ACB），∠BCP= （∠A+∠ABC）(1)PCBA∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A- （∠ABC+∠ACB）=180°-∠A- （180°-∠A）=90°-A，∴∠P 与∠A 的关系是：∠P=90°-α．2、如图，BE 与 CD 相交于点 A,CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的角平分线。∠F.∠B 和∠D 之间有着怎样的等量关系？说明理由解：如图（1）∵ CF 平分∠BCD，EF 平分∠BED∴ ∠1 = ∠2，∠3 =∠4∵ 在△DME 和△FMC 中，有一对对顶角，即∠DME=∠FMC∴ ∠D +∠1 = ∠F +∠3又∵ 在△BNC 和△FNE 中，有一对对顶角，即∠BNC=∠FNE∴ ∠B +∠4 = ∠F +∠2∴ ∠D +∠1 +∠B +∠4 = ∠F +∠2+ ∠F +∠3 【以上两式相加】∴ ∠D +∠B = 2∠F2、在等腰三角形 ABC 中，AB=AC,一腰上的中线 BD 将这个等腰三角形的周长分为 15 和 6 两部分，求该三角形的腰长和底边长.解： 设△ABC 中，AB＝AC＝2X， 因为 BD 是中线， 易知 AD＝CD＝X， 所以 AB＋AD＝3X， 根据题意得： 3X＝15 或 3X＝6 解得 X＝5 或 X＝2 当 X＝5 时，AB＝AC＝10，BC＝6－5＝1 当 X＝2 时，AB＝AC＝4，BC＝15－2＝13 （4、4、13 不能构成三角形，不合题意） 所以三角形的腰长是 10，底边长是 1
