一、充分条件和必要条件的概念 若“p”成立，则“q”一定成立．记作“p⇒ q”，称 p 是 q 的 ；q 是 p 的 ．换个角度考虑，p⇒q，就是说，为了使 q 成立，具备条件 p 就足够了．反过来说，一旦 q 不成立，p 一定也不成立，q 成立对于 p 成立是必要的． 二、充要条件 对于 p 和 q，如果有 p⇒ q，又有 q⇒ p，那么，记作 p⇔ q.这时，p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件；同时，q 既是 p 的充分条件，也是 p 的必要条件．我们称 p 是 q的充分必要条件，简称 ．也称 p 与 q 是等价的． 充分条件 必要条件充要条件[疑难提示] p 是 q 的充要条件与 p 的充要条件是 q 的区别 p 是 q 的充要条件指的是 p⇒q 是充分性，p 的充要条件是 q 中，q⇒ p 是充分性． [想一想] 1．若 p 是 q 的充分条件，那么 p 唯一吗？ 提示：不唯一，如 x>3 是 x>0 的充分条件，x>5、x>10 也是 x>0 的充分条件． [练一练] 2．“x>0”是“x≠0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立． 答案：A 3．“x2－3x＋2<0”是“－14，q：关于 x 的方程 x2＋mx＋3＝0 有实根； (3)p：x＝1，或 x＝2，q：x－1＝ x－1； (4)在△ABC 中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan [解析] (1) a＋b＝0⇒ / a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒ a＋b＝0， ∴p 是 q 的必要不充分条件． (2)当 m>4 时，判别式 Δ＝m2－12>0， ∴方程有实根，即 p⇒ q； 若方程有实根，则 Δ＝m2－12≥0，即 m≥2 3或 m≤－2 3，推不出 m>4. 即 q⇒ / p，∴p 是 q 的充分不必要条件． (3) x＝1，或 x＝2⇒ x－1＝ x－1；x－1＝ x－1⇒ x＝1 或 x＝2， ∴p 是 q 的充要条件． (4)取 A＝120°，B＝30°，p⇒ / q，又取 A＝30°，B＝120°...
