镶 嵌课题学习 埃舍尔的作品——鸟分割的平面 通过观察上面的图片，你发现它们有哪些共同特征？【 1 】不重叠【 2 】完全覆盖 从数学角度看，用一些不重叠摆放的图形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题 ( 一 ) 提出问题1) 回想你家里地板的铺设情况 , 并说说是用什么形状的地砖 . 地板铺成的 ?2) 观看下面地板的拼合图案 3 ）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙的地板呢 ? 1 ）它们是何种正多边形拼成的？ 2 ）围绕图中某一点的所有角的和是多少？ 仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？探究问题（一） 探究问题（一） 探究问题（一） 探究问题（一） 探究问题（一） 探究问题（一） 收 集 整 理 数 据正 n 边形拼图每个内角的度数使用正多边形的个数 k结论能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌 K= 6K= 4K= 3K= 4K= 360°90°108°108°120°n =3n =6n =4n =5 分 析 数 据正 n 边形拼图每个内角的度数与 360° 的关系结论n=3n=4n=5n=6能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌 6×60°= 360° 4×90°= 360° 4×108° ＞ 360° 3×120°= 360° 3×108° ＜ 360° 能镶嵌 得出结论： 如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是 360° 的约数（或360° 一定是这个多边形内角的整数倍）！ 用两种正多边形镶嵌 , 哪些能镶嵌成一个平面 ?探究问题（二） 探究问题（二）正三角形正方形 2m+3n=12m=3n=2600·m +900·n =3600 设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角 ,n 个正方边形的角，则有 ∵ m,n 为正整数∴ 解为 探究问题（二）正六边形正三角形 m+2n=6m=2n=2m=4n=1 m·60 +n·120 =360。 。。设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角 ,n 个正六边形的角，则有 ∵ m,n 为正整数∴ 解为 探究问题（二）正十二边形正三角形 2m+5n=12m=1n=2 600 · m+1500·n =3600设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角 ,n 个正十二边形的角，则有 ∵ m,n 为正整数∴ 解为
