对一道 2013 年新课标高考题的深层解读730400 甘肃省景泰县第二中学 柏红香 138930426712013 年高考已顺利落幕，但是人们研究高考题的热度却有增无减。最近笔者认真研究了新课标卷高考选做题的不等式问题，觉得它是一道研究价值极高的好题。在此与同仁共享。1 问题的提出 （2013 年全国高考新课标卷Ⅱ理科 24 题）设 a,b,c 均为正数，且 a +b +c =1.证明： （Ⅰ） ab +bc +ca ≤13 (Ⅱ)a2b +b2c +c2a ≥ 1 本题属于条件不等式证明题。设问简洁明了，思路多，入口宽，其证明过程蕴涵着丰富的数学知识和数学思想。可以很好地反映出新课标中学生对双基掌握的水平，同时有效考查学生的思维能力和创新能力。下面从不同的视角出发，探讨本题的求解思路。2 解法研究（Ⅰ）思路 1 分析法 即先假设结论成立，然后寻求它成立的原因，再看这些原因成立又各需什么条件，如果逐步往上追溯，一直到达所设条件或已知事实。证法 1 ： 要证 ab +bc +ca ≤13 只需证 3（ab + bc +ca ）≤( a + b + c )2 即证 ab + bc +ca ≤ a2 + b2 + c2 即证 2（ab +bc +ca ）≤2(a2 +b2 +c2 ) 即证 （a –b ）2 + (b - c)2 +(c -a)2≥0 由于最后一个不等式显然成立，故原不等式成立。 思路 2 ：消元配方法 注意到条件和待求的式子中均有因子 a + b,则可通过消元思想，将三元不等式转化为二元不等式问题，中间用到基本不等式，再配方获证。证法 2 ：ab + bc +ca =ab +[1 –(a + b)](a + b)=ab +(a+b) –(a + b)2 ≤( a+b2)2 +(a +b) –(a + b)2 =-34 [(a +b )-23 ]2 +13 ≤13 思路 3 ：判别式法 利用一元二次方程有实根的充要条件是判别式大于或等于 0. 证法 3： 设 ab +bc +ca =t,则由条件可知 c=1-a –b,所以有 t=ab +(1-a –b)(a+b)展开整理得 a2 +(b -1)a + b2 –b +t =0, 因为这个方程关于a 有实根，故△=(b-1)2 -4(b2 –b +t)≥0 , 即 t≤ -34 b2 +12 b +14 = -34 (b -13 )2 +13 ≤13 .思路 4：等价转化法，即证明与其等价的命题。 在已知条件下，易证 ab +bc +ca ≤13⇔a2 +b2 +c2≥13 现在证明 a2 +b2 +c2≥13 证法 4 ：柯西不等式证明 (a2 + b2 + c2) (12 +12 +12)≥( a·1 + b·1+ c·1)2 即 a2 +b2 +c2≥13 ，故 ab +bc +ca ≤13 证法 5 ：构造向量，利...
