一道高考题的探究性学习张元方（四川省宜宾市商职校 644000）一道好的高考题总会留下很大的拓展空间，让你产生无尽的遐想，细细品来，令人回味无穷．2010 年高考全国卷（Ⅰ）理科第 21 题第（1）问就是这样的好题：已知抛物线：的焦点为，过点的直线 与相交于,两点，点关于 轴的对称点为．（1）证明：点在直线上；（2）略．笔者就此问题展开探讨，得到如下一些优美的结论．结论 1 已知抛物线：的焦点为，过点的直线 与相交于,两点，点关于 轴的对称点为．则点在直线上．证明 设， 的方程为，则直线的方程为，即．令，得．将代入并整理得，从而．又，，将两式代入得．所以点在直线上．结论 2 已知椭圆：的一个焦点为，相应的一条准线与 轴的交点为,过点的直线 与相交于,两点，点关于 轴的对称点为．则点在直线上．证明 （我们以右焦点和右准线为例）设， 的方程为，则直线的方程为，即．令，得．将代入并整理得，从而，．又，，将以上四式 代 入得．所以点在直线上．结论 3 已知双曲线：的一个焦点为，相应的一条准线与轴的交点为,过点的直线 与相交于,两点，点关于 轴的对称点为．则点在直线上．证明 （我们以右焦点和右准线为例）设， 的方程为，则直线的方程为，即．令，得．将代入并整理得，从而，．又，，将以上四式先后代入得．所以点在直线上．同样的方法，还可以得到如下更一般性结论（以下 皆为常数）：结论 4 已知抛物线：的对称轴 轴上两点，过点的直线 与相交于,两点，点关于 轴的对称点为．则点在直线上.结论 5 已知椭圆：的对称轴上两点,过点的直线 与相交于,两点，点关于 轴的对称点为．则点在直线上．结论 6 已知双曲线：的对称轴上两点,过点的直线 与相交于,两点，点关于 轴的对称点为．则点在直线上．注：本文已发表于《数学通讯》2010 年第 12 期。作者简介：本人张元方，男，74 年 9 月出生，98 年毕业于重庆师范大学数学系，现在四川省宜宾市商职校从事数学教学，中学一级教师。通讯地址：四川省宜宾市翠屏区南岸长江大道中段 20 号区社保局 张妍收 邮编：644000联系电话：13778932060 E—mail：zyf780206@126.com
