1 / 10 因式分解一、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头 . 甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了. ”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃. 二、知识点回顾：1．运用公式法在整式的乘、 除中， 我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a -b) ；(2)a2±2ab+b2=(a ±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4)a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) ．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ；(7)an-bn=(a -b)(an-1 +an-2 b+an-3b2+⋯+abn-2 +bn-1 ) 其中 n 为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1 -an-2 b+an-3b2-⋯+abn-2 -bn-1) ，其中 n 为偶数； (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3 b2-⋯-abn-2+bn-1) ，其中 n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、 系数、 指数、 符号等正确恰当地选择公式．三、 专题讲解例 1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1) 原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2) 原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x( -2y)( -Z) =(x -2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) ．例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6) ．2 / 10 分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) ．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解 原式 =(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc = ［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ．说明公式 (6) 是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的 结论，例如：我们将公式(6) 变形为a3+b3+c3-3abc 显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c＞0 时，则 a3+b3+c3-3abc≥0，即 a3+b3+c3≥3abc ，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令 x=a3≥0，y=b3≥...
