圆压轴题八大模型题（一）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型 1弧中点的运用在⊙ O 中，点 C是⌒AD的中点， CE⊥AB于点 E.（1）在图 1 中，你会发现这些结论吗？①AP＝CP＝FP；②CH＝AD；②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE· AB. （2）在图 2 中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？【分析】( 1) ①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得： ∠CAD＝∠ B＝∠ ACE; ∠PCF＝∠ PFC, 所以 AP＝CP＝FP. ( 1) ②由垂径定理和弧中点的性质得，⌒DC＝⌒AC＝⌒AH,再由弧叠加得：⌒CH＝⌒AD, 所以 CH＝AD. ( 1) ③由共边角相似易证：△ACE∽△ ABC, △ ACP∽△ ADC, △ ACF∽△ BCA, 进而得AC2＝AEAB; AC2＝AP AD; AC2＝CFCB; (2) 垂径定理的推论得：C0⊥AD, 易证： Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△ CBE∽Rt△ ACF∽ Rt△BDF∽Rt△ACG∽ Rt△CGF. 此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG. 运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题. 建议：将下列所有例题与习题转化到图1 或图 2 上观察、比较、思考和总结。【典例】（2018· 湖南永州）如图，线段AB 为⊙ O 的直径，点C，E 在⊙ O 上，＝，CD⊥AB，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE与线段 CD相交于点 F．（1）求证： CF＝BF；（2）若 cos∠ABE＝，在 AB的延长线上取一点M ，使 BM＝4，⊙ O 的半径为 6．求证：OHPFEDCBAABCDEFPGO（图 1）（图 2）直线 CM 是⊙ O 的切线．【分析】（1）延长 CD 与圆相交， 由垂径定理得到＝，再由＝得到＝＝，等弧所对的角相等，等角对等边。 （2）由垂径定理的推论得OC⊥BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH 的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠ MCO＝∠BHO＝90°证得结论。证明：（1）延长 CD交⊙ O 于 G，如图， CD⊥AB，∴＝， ＝，∴＝，∴∠ CBE＝∠ GCB，∴ CF＝BF；（2）连接 OC交 BE于 H，如图， ＝，∴ OC⊥BE，在 Rt△OBH中， cos∠OBH＝＝，∴BH＝×6＝，OH＝＝， ＝＝，＝＝，∴＝，而∠ HOB＝∠ COM，∴△ OHB∽△ OCM，∴∠ OCM...
