v1.0 可编辑可修改11椭圆典例剖析知识点一椭圆定义的应用方程x225－m＋y216＋m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m的取值范围是 ________．解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m>25－m，即 m>92，又因为 b2＝ 25－m>0，故 m<25，所以 m的取值范围为 92b>0) ．由椭圆定义知：2a＝(5 ＋4)2＋(5 － 4)2＝10，所以 a＝ 5.又 c＝4，所以 b2＝a2－c2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x225＋y29 ＝1.方法二设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1( a>b>0) ，因为 c＝ 4，所以 a2－b2＝c2＝16. 又椭圆经过点 (5,0) ，所以25a2＋0b2＝1，所以 a2＝25，所以 b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为x225＋ y29＝ 1.(2) 方法一①当椭圆焦点在x 轴上时，设标准方程为x2a2＋y2b2＝1( a>b>0) ，v1.0 可编辑可修改33依题意有(13)2a2 ＋(13)2b2 ＝ 1，0a2＋( －12)2b2＝ 1.解得a2＝15，b2＝14.又因为 a>b，所以该方程组无解．②当椭圆焦点在y 轴上时，设标准方程为y2a2＋x2b2＝1( a>b>0) ．依题意有(13)2a2 ＋(13)2b2 ＝ 1，( －12)2a2＋0b2＝ 1.解得a2＝14，b2＝15.所以方程为y214＋x215＝1.综上知，所求椭圆的标准方程为：y214＋x215＝ 1.方法二设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1( m>0，n>0， m≠n) ，依题意有19m＋19n＝1，14n＝1，解得m＝5，n＝4，所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，即其标准方程为y214＋x215＝1.练习：过点 ( －3,2) 且与椭圆 x29＋y24 ＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程是________．v1.0 可编辑可修改44解析： 因为 c2＝9－ 4＝ 5，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－ 5＝ 1. 由点 (－ 3,2) 在椭圆上知 9a2＋4a2－5＝ 1，所以 a2＝ 15. 所以所求椭圆的标准方程为x215＋ y210＝ 1. 答案： x215＋ y210＝1知识点三根据方程研究几何性质求椭圆 25x2＋16y2＝400 的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．解将方程变形为y225＋ x216＝1，得 a＝5，b＝4，所以 c＝3. 故椭圆的长轴和短轴的长分别为 2a＝10,2 b＝8，离心率 e＝ ca＝35，焦点坐标为 (0 ，－3) ，(0,3)，...
