1 椭圆焦点三角形1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图 1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,FF 构成的三角形12PF F称之为椭圆焦点三角形．（2）面积公式推导解：在12PF F 中，设12F PF，11PFr ，22PFr ，由余弦定理得222121212cos2PFPFF FPFPF2221212(2 )2rrcrr22121 21 2()242rrr rcr r221 21 2(2 )242ar rcr r221 21 24()22acr rr r21 21 22brrr r∴21 21 2cos2r rbr r即21 221cosbr r，∴1221 2112sinsin221cosPF FbSr r2sin1cosb=2 tan2b．例 1．焦点为12,FF 的椭圆2214924xy上有一点 M，若120MFMFuuuur uuuur，求12MF F的面积．解：∵120MFMFuuuur uuuur，∴12MFMF ，∴12MF FS290tan24tan2422b．例 2．在椭圆的22221(0)xyabab中，12,FF 是它的两个焦点， B 是短轴的一个端点， M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BFF MF ．证明：如图 2，设 M 的纵坐标为0y ，图 1 F 1 x y O P F2 2 ∵2121021212121MFFFBFSyFFbFFS，∴221212tantan22F BFF MFbb，即1212tantan22F BFF MF ，又121211,22F BFF MF 都是锐角，故12121122F BFF MF从而有1212F BFF MF ．2．双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．（1）定义：如图 3，双曲线上一点 P 与双曲线的两个焦点12,FF 构成的三角形12PF F 称之为双曲线焦点三角形．（2）面积公式推导：解：在12PF F 中，设12F PF，11PFr ，22PFr ，由余弦定理得222121212cos2PFPFF FPFPF2221212(2 )2rrcrr22121 21 2()242rrr rcr r221 21 2(2 )242ar rcr r221 21 22()r rcar r21 21 22rrbr r∴21 21 2cos2r rr rb即21 221cosbr r，∴1221 2112sinsin221cosPF FbSr r2sin1cosb=2 cot2b．例 3、已知双曲线22169144xy，设12,FF 是双曲线得两个焦点．点P 在双曲线上，1232PFPF，求12F PF 的大小．解：双曲线的标准方程为221916xy，图 2 F 1 x y O M F2 B 图 3 F 1 x y O P F2 3 ∴121212121211sin32sin16sin22PF FSPFPFF PFF PFF PF ，从而有1216sinF PF1216cot2F PF =121216sin1cosF PFF PF，∴12cos0F PF，∴1290F PF．例 4：椭圆22162xy与双曲线2213xy的公共焦点为12,FF ，P 是两曲线的一个交点，求21cosPFF的值．解：在椭圆和双曲线中异算12PF F 面积∵122 tan1 cot22PF FS，∴21tan22，∴2211tan1122cos131tan122．开 拓 ： 从 上 例 我 们 不 难 发 现 ， 若 椭 圆221122111(0)xyabab和 双 曲 线222222221(0,0)xyabab有公共的焦点12,FF 和公共点P，那么12PF F 的面积2121 tan2F PFSb，又2122 cot2F PFSb，从而22212Sbb ，即12Sb b ．
