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多面体外接球半径常见求法知识回顾:定义 1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球 。定义 2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球 。球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系:.球面被经过球心的平面截得的圆叫.被不经过球心的平面截得的圆叫球的表面积表面积S=;球的体积V=.球与棱柱的组合体问题1. 正方体的内切球:球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为 a ,球半径为 R。如图 3,截面图为正方形EFGH 的内切圆,得2aR;2. 与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4 作截面图, 圆 O为正方形 EFGH 的外接圆,易得aR22。3. 正方体的外接球: 正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面1AA 作截面图得, 圆 O 为矩形CCAA11的外接圆,易得aOAR231。一、公式法例 1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为.小结本题是运用公式222Rrd求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.图 3图 4图 5二、多面体几何性质法例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为 16,则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3 ,则其外接球的表面积是.小结一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为abc、 、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2222Rabc.变式 1:三棱锥 OABC 中,,,OA OB OC 两两垂直, 且22OAOBOCa ,则三棱锥 OABC外接球的表面积为()A.26 aB.29 aC.212aD.224 a四、寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ,SABCD、 、 、 、都在同一球面上,则此球的体积为.而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.变式 1:求棱长为a 的正四面体P – ABC 的外接球的表面积CDABSO1图 3变式 1:底面边长...

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