工程硕士入学考试中的常见问题1． 求函数表达式。 （1）已知f ( x+1)=x2+1 , 求f ( x)的表达式。 （2）已知g(x)={1,|x|≤1,0 ,|x|>1,f (x)={4−x2, |x|≤2,2,|x|>2. 求f (g( x))。 （3）f'(ex)=asin x+bcos x (a ,b是不同时为零的常数）,求f ( x)。 （4）设∫xf (x )dx=arctan x+C ，求∫1f (x)dx。 （5）已知f ( x)=1+2∫01 f (t )dt ，求f ( x)。2． 研究函数的奇偶性。 （1）f ( x)=12( ex−e−x)。 （2）f ( x)=ln( x+√1+x2)。 （3）研究函数f (x)=∫0xln(t+√1+t2)dt 的奇偶性。3． 研究函数在一点的极限存在性、连续性、可导性、导函数的连续性。（1）求极限limx→0(2+e1x1+e4x+sin x|x| )。 （2）指出函数f ( x)= x( x−1)|x|( x2−1) 的间断点及其类型。 （3）f ( x)={11−ex1−x,x≠1,0,x=1, x>0。 （4）已知函数f ( x)=limn→ ∞x2n−1+ax 2+bxx2n+1在(−∞,+∞)上连续，求a, b 的值。 （5）讨论函数f ( x)={( x−1)2sin1x−1x≠10x=1 在x=1处的连续性、可导性。 （6）设f ( x)={x2sin 1xx>0ax+bx≤0 在x=0 可导，则a,b 满足[ ]（A）a=0,b=0。 （B）a=1,b=1 。（C）a为任意常数,b=0。 （D）a为任意常数,b=1。4． 无穷小的比较。（1）若limx→0e1−cos x−1tan( xk π)=a≠0，求k 与a 的值。（2）已知f ( x)=∫0x2ln(1+t )dt ，则当x→0 时，下列函数中与f ( x)是等价无穷小的是[ ] A x2。 B x3。 C x42 。 D x4 。（3）确定a,b 的值，使limx→0ax−sin x∫bx ln(1+t3)tdt=12。5． 导数概念。 （1）limh→0f ( x0+h)−f ( x0−h)2h。 （ 2 ） 设 f ( x)在 x=0 点 某 邻 域 内 可 导 ， 且 当 x≠0 时 f ( x)≠0 ， 已 知f (0)=0,f'(0)=2，求极限limx→0(1−2f (x))1sinx 。 （3）已知f ( x)={x4sin 1x ,x≠0 ,0,x=0 ，求f''(0)。 （4）已知f (x)∈C[a,b ]，且f '( a)>0 ,f '(b)<0，证明：存在ξ ∈(a,b)，使得f (ξ)≥f ( x) ( x ∈[a ,b ])。6． 求简单复合函数、简单隐函数、简单参数方程确定的函数的导数和微分。（1）y=ln(arctan x )。（2）已知函数y= y(x )由e y−e−x+xy=0 确定，求曲线y= y(x )在x=0 出的切线方程与法线方程。7． 不定式极限。（1）求极限值，设f (x)=∫0xet2dt，求limh→0f ( x+h)−f ( x−h)h。（2）求待定参...
