2025版新教材高考数学全程一轮总复习第七章立体几何第五节空间向量及应用学生用书VIP免费

第五节 空间向量及应用 【课标标准】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简洁应用空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示.3.驾驭空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示．能用向量的数量积推断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系． 必备学问·夯实双基 学问梳理 1.向量共线与向量共面定理 (1)共线向量定理：对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________． (2)共面对量定理：假如两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使________． 2．空间向量基本定理 假如三个向量a，b，c 不共面，那么对随意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得________． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b 的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量a，b 的数量积： a·b＝________________． 4．空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b ____________________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ____________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ____________________ 模 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 5．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a，则对于直线l 上随意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l 的方向向量a，称向量a 为平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 6．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2 的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2) l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R，使得________________ l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________ 直线l 的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2) l∥α(l⊄α) u⊥n⇔u·n＝0⇔__________________ l⊥α u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn⇔____________ n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，...