第五节 空间向量及应用 【课标标准】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简洁应用空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示.3.驾驭空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示．能用向量的数量积推断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系． 必备学问·夯实双基 学问梳理 1.向量共线与向量共面定理 (1)共线向量定理：对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________． (2)共面对量定理：假如两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使________． 2．空间向量基本定理 假如三个向量a，b，c 不共面，那么对随意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得________． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b 的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量a，b 的数量积： a·b＝________________． 4．空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b ____________________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ____________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ____________________ 模 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 5．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a，则对于直线l 上随意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l 的方向向量a，称向量a 为平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 6．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2 的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2) l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R，使得________________ l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________ 直线l 的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2) l∥α(l⊄α) u⊥n⇔u·n＝0⇔__________________ l⊥α u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn⇔____________ n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，...
