初中数学学科网（www.223t.com）第七讲 根式及其运算 二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析． 二次根式的性质： 二次根式的运算法则： 设 a，b，c，d，m 是有理数，且 m 不是完全平方数，则当且仅 当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式则这两个代数式互为有理化因式． 例 1 化简： 初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） 法是配方去掉根号，所以 因为 x-2＜0，1-x＜0，所以 原式=2-x+x-1=1． ＝a-b-a+b-a+b=b-a． 说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简． 例 2 化简： 分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简． 初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） 解法 1 配方法． 配方法是要设法找到两个正数 x，y(x＞y)，使 x+y=a，xy=b，则 解法 2 待定系数法． 初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） 例 4 化简： (2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简． 分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是 2，可以看成 解 设 两边平方得初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） ②×③×④ 得 (xyz)2=5×7×35=352． 因为 x，y，z 均非负，所以 xyz≥0，所以xyz=35．⑤ ⑤÷②，有 z=7．同理有 x=5，y=1．所求 x，y，z 显然满足①，所以 解 设原式=x，则 解法 1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解． 初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） 将方程左端因式分解有 (x-4)(x2＋4x＋10)＝0． 因为 x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0， 所以 x-4＝0，x＝4．所以原式＝4． 解法 2 说明 解法 2 看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法 1 是一般常用的解法． 例 8 化简： 解(1) 初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） 本小题也可用换元法来化简． 解 用换元法． ...
