cn初中数学竞赛专题选讲(初三
20)最大最小值一、内容提要1
求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+
在实数范围内(x+)2≥0，∴若a>0时，当x=－时，y最小值=；若a0，y≥，这时取等号，则y为最小值；若a0,b>0,a+b=k
(k为定值)
那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－k)2+
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cn当a=时，ab有最大值
证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法
设a>0,b>0,ab=k(k为定值)，再设y=a+b
那么y=a+,a2－ya+k=0
（这是关于a的二次议程方程） a为正实数，∴△≥0
即(－y)2－4k≥0，y2－4k≥0
∴y≤－2(不合题意舍去)；y≥2
∴y最小值=2
解方程组得a=b=
∴当a=b=时，a+b有最小值2
在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值
当这两边相等时，其和的值最大
定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值
当这两边相等时，其和的值最小
定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积
二、例题例1
已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值
解：由已知y2=, y是实数，∴y2≥0
即≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0
解得0≤x≤2
这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－(x－3)2+在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4
∴当x=0时，x2+y2=0是最小值
已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等
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cn求：这个矩形周长、面积的最小值
