www.czsx.com.cn初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大最小值一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+. 在实数范围内(x+)2≥0，∴若a>0时，当x=－时，y最小值=；若a<0时，当x=－时，y最大值=.②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0. x在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0，4ay≥4ac－b2.若a>0，y≥，这时取等号，则y为最小值；若a<0，y≤，这时取等号，则y为最大值.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2.用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0,b>0,a+b=k.(k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－k)2+.-1-www.czsx.com.cn当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a>0,b>0,ab=k(k为定值)，再设y=a+b.那么y=a+,a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a为正实数，∴△≥0.即(－y)2－4k≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2(不合题意舍去)；y≥2.∴y最小值=2.解方程组得a=b=.∴当a=b=时，a+b有最小值2.3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=, y是实数，∴y2≥0.即≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－(x－3)2+在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.-2-www.czsx.com.cn求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为a,b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.即∴a和b是方程x2－kx+k=0的两个实数根. a,b都是正实数，∴△≥0.即(－)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0.k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x,S矩形=y,则GH=. △AHG∽△ABC，∴.∴y=.∴当x=时，y最大值=.即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4.如图已知：直线m∥n，A，B，C都是定点，AB=a,AC=b,点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x,则PC=b－x.-3-ahXABCDHEGFnmxbaPACBDwww.czsx.com.cn m∥n，∴.∴CD=S△PAB+S△PCD=axSinα+(b－x)Sinα=aSinα(=aSinα(2x+. 2x×=2b2(定值)，根据定理二，2x+有最小值.∴当2x=，x=时，S△PAB+S△PCD的最小值是(－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中,内切圆O的半径r=1.求：S△ABC的最小值.解： S△ABC=ab∴ab＝2S△. 2r=a+b－c,∴c=a+b－2r.∴a+b－2r=.两边平方，得a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r=a2+b2.4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1,ab=2S△代入，得4+4S△－4(a+b)=0.a+b=S△+1. ab=2S△且a+b=S△+1.∴a,b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0的两个根. a,b是正实数，∴△≥0，即[－(S△+1)]2－4×2S△≥0，S△2－6S△+1≥0.解得S△≥3+2或S△≤3－2.S△≤3－2不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图△ABC中，AB=，∠C=30.求：a+b的最大值.解：设a+b=y,则b=y－a.根据余弦定理，得-4-abcr=1OBCAwww.czsx.com.cn()2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30写成关于a的二次方程：(2+)a2－(2+)ya+y2－(8+4)...
