专题五 解析几何 微切口 17 隐性圆的研究 1 (1) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x＋a＋3)2＋ (y－2a)2＝1(a 为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30°，则 a 的取值范围为________． －65，0 【思维引导】 【解析】如图，过点 Q 作圆 O 的切线，设切点为 P′，在圆 O 上要存在点 P 满足∠OQP＝30°，即∠OQP′≥30°.因为 sin∠OQP′＝OP′OQ ≥12，所以 OQ≤2.设 Q(x，y)，则 x2＋y2≤4.因为点 Q 在圆 M 上，即圆 M 与 x2＋y2≤4 有公共点，所以 1≤(a＋3)2＋(－2a)2≤9，解得－65≤a≤0，所以 a的取值范围为－65，0 . (2) 已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m,0)．若圆 C 上存在一点 P，使得∠APB＝90°，则 m 的取值范围是________． [4,6]【解析】由题知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 的圆心 C(3,4)，半径为 1. 因为圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5， 所以圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4. 又由∠APB＝90°，以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，得 PO＝12AB＝m，所以 4≤m≤6. (3) 已知点 A(2,3)，点 B(6，－3)，点 P 在直线 3x－4y＋3＝0 上，若满足等式 AP→·BP→＋2λ＝0 的点 P 有两个，则实数 λ 的取值范围是____________． (∞－ ， 2) 【解析】 由点 P 在直线 3x－4y＋3＝0 上，设 Px，3x＋34，则AP→＝x－2，3x＋34－3 ，BP→＝x－6，3x＋34＋3 ，所以AP→·BP→＝(x－2)(x－6)＋3x＋342－9＝ 116(25x2－110x＋57)．又满足AP→·BP→＋2λ＝0 的点 P 有 2 个，所以 116(25x2－110x＋57)＋2λ＝0 有两个不相等的实数根，即 25x2－110x＋57＋32λ＝0 有两个不相等的实数根，则 Δ＝(－110)2－4×25× (57＋32λ)＞0，解得 λ＜2，所以实数 λ 的取值范围为(－∞，2)． (1) 已知 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，P 是圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动点，那么|PA→＋PB→|的取值范围为________． [7,13] (变式(1)) 【解析】因为 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，所以线段 AB 的中点 H 在圆 O：x2＋y2＝14上，且|PA→＋PB→|＝2|PH→ |.因为点 P 是圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动...
