2025年3月9日 平面解析几何研究的两大基本问题是：（ 1 ）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（ 2 ）通过方程，研究平面曲线的性质。 求解曲线方程的大体步骤： 首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正． 步 骤含 义说 明1.“ 建”：建立坐标系； “ 设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用 (x,y) 表示曲线上任意一点 M 的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2 ．现 ( 限 ) ：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件 P 的点M 的集合 P={M|P(M)}这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3 ．“代”：代换用坐标法表示条件P(M) ，列出方程 f(x,y)=0常常用到一些公式。4 ．“化”：化简化方程 f(x,y)=0 为最简形式。要注意同解变形。5 ．证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生的增根或失根，应在所得方程中删去或补上 ( 即要注意方程变量的取值范围 ) 。 （ 1 ）建立适当的坐标系，用有序实数对例如 (x,y) 表示曲线上任意一点 M 的坐标；（ 2 ）写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)} ； （ 3 ）用坐标表示条件 p(M) ，列出方程 f(x,y)=0 ； （ 4 ）化方程 f(x,y)=0 为最简形式； （ 5 ）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 例 1. 已知一条曲线在 x 轴的上方，它上面的每一点到点 A(0,2) 的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2 ，求这条曲线的方程 .解：设点 M(x,y) 是曲线上任意一点， MB⊥x 轴，垂足是 B ，那么点 M 属于集合 P ＝｛ M ||MA||MB| ＝ 2 ｝．。由距离公式，点 M 适合的条件可表示为2)2(22yyx①将①式移项后再两边平方，得x2 ＋ (y2)2 ＝ (y ＋ 2)2 ，化简得 281 xy 因为曲线在 x 轴的上方，所以 y ＞ 0 ， 虽然原点 O 的坐标 (0,0) 是这个方程的解，但不属于已知曲线， 所以曲线的方程是 281 xy (x≠0) ， 例 2：已知点 M 与 x 轴的距离和它与点 F（0，4）的距离相等，求点 M 的轨迹方程。解：设 M 点的坐标为（ x ， y ），整理得： x2 － 8y+16=0则 |y|=224)(yxxyF4M （ x ， y...
