专题三 不等式 微切口 10 多元变量问题的处理 (1) 若正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz 取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________． 1 【思维引导】 【解析】 因为z＝x23－ xy4＋ y2(x>0，y>0，z>0)， 所以xyz ＝xyx23－ xy4＋ y2＝1xy＋4yx3－≤ 143－1＝ ， 当且仅当xy＝4yx ，即x2＝ y时等号成立，则z＝x23－ xy4＋ y24＝ y26－ y24＋ y22＝ y2， 所以2x＋1y－2z＝ 22y＋1y－ 22y2＝－1y2＋2y＝－1y1－21＋ ，所以当y1＝ 时，2x＋1y－2z1.的最大值为 (2) 若实数 a，b，c 满足 a＋b＝2c－1，a2＋b2＝c2＋2c－3，则 ab 的取值范围是_____________________． 114 －3 22 ，114 ＋3 22 【解析】因为a2＋b2≥2ab，则2a2＋2b2≥a2＋b2＋2ab，即a2＋b22≥a＋b22，所以c2＋2c－32≥2c－122，化简得2c2－8c＋7≤0，解得4－ 22≤c≤4＋ 22.又 a＋b2＝4c2－4c＋1，a2＋b2＝c2＋2c－3，解得ab＝32(c－1)2＋12，所以当c＝4－ 22时，ab有最小值11－6 24；当c＝4＋ 22时，ab有最大值11＋6 24.所以ab的取值范围是114 －3 22 ，114 ＋3 22. (3) 已知 a＞0，b＞0，c＞2，且 a＋b＝2，那么acb ＋ cab－c2＋5c－2的最小值为________． 10＋ 5 【解析】 因为a＞0，b＞0，所以ab＋ 1ab－12＝ab＋a＋b24ab －12＝ab＋a2＋2ab＋b24ab－12＝5a4b＋ b4a≥ 52 ，当且仅当b＝ 5a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得acb ＋ cab－c2＋5c－2＝cab＋ 1ab－12 ＋5c－2≥ 52 c＋5c－2. 又因为 52 c＋5c－2＝ 52 (c－2)＋5c－2＋ 5≥ 10＋ 5，当且仅当c＝2＋ 2时等号成立， 所以acb ＋ cab－c2＋5c－2的最小值为 10＋ 5. (4) 已知正数 x，y，z 满足 x＋2y＋z＝1，那么y＋zx＋y＋ 9y＋z的最小值为________． 15 【解析】 设 y＋zx＋y ＝t(t>0)，则 y＋zx＋y ＋ 9x＋2y＋zy＋z＝ y＋zx＋y ＋ 9x＋yy＋z＋9＝t＋ 9t ＋9≥15，故y＋zx＋y＋ 9y＋z的最小值为15. (5) 若 x，y，z 为正实数，则 2xy＋yzx2＋5y2＋z2的最大值为________． 12 【解析】 因为x，y，z为正实数， 所以x25＋ y2＋z2＝x24＋ y2＋y2＋z2≥4xy2＋ yz， 所以 2xy＋yzx25＋ y2＋z2≤12， 当且仅当x2＝ y2＝ z时， 2xy＋yzx...
