(完整)第八节 多元函数的极值及其求法VIP免费

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法 1 第八节 多元函数的极值及其求法 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值. 重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。 难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。 作业：习题8－8（71P ）3,5,8,9,10 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例,先来讨论多元函数的极值问题． 一．多元函数的极值 定义 设函数),(yxfz 在点),(00 yx的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00 yxyx，如果总有),(),(00 yxfyxf,则称函数),(yxfz 在点),(00 yx处有极大值；如果总有),(),(00 yxfyxf，则称函数),(yxfz 在点),(00 yx有极小值． 函数的极大值,极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xyz 在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点． 例2．函数2243yxz在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(yx有0)0,0(),( fyxf． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0z,从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件) 设函数),(yxfz 在点),(00 yx具有偏导数,且在点),(00 yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00yxfx,0),(00yxfy． 证明 不妨设函数),(yxfz 在点),(00 yx处有极大值，依定义,在该点的邻域上均有 ),(),(00 yxfyxf，),(),(00 yxyx 成立． 特别地，取0yy 而0xx 的点，有000( ,)(,)f x yf xy也有成立． 这表明一元函数 ),(0yxf在0xx 处取得极大值，因而必有 0),(00yxfx． (完整)第八节 多元函数的极值及其求法 2 类似地可证 0),(00yxfy． 几何解释 若函数),(yxfz 在点),(00 yx取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000zyx处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 是平行于xoy 坐标面的平面0zz ． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz 说明 上面的定理虽然没有完全解...