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八、高等数学试题2005/1/10 一、填空题（本题20 分，每小题4 分）1．已知aaxaxxx，则9lim2．设函数1112)(2xbaxxxxf，，，当 a= ,b= 时， f(x)在 x=1 处可导。3．方程017xx共有个正根。4．当 x时，曲线cbxaxy2的曲率最大。5．20sin xdxx。二、选择题（本大题24 分，共有 6 小题，每小题4 分）1．下列结论中，正确的是（）（A）若ax nn2lim，ax nn12lim，则axnnlim；（B）发散数列必然无界；（C）若ax nn13lim，ax nn13lim，则axnnlim；（D）有界数列必然收敛。2．函数)(xf在0xx处取得极大值，则必有（）。（A）0)(0xf；（B）0)(0xf；（C）0)(0xf或)(0xf不存在；（D）0)(0xf且0)(0xf。3．函数xadttfxF)()(在][ba，上可导的充分条件是：)(xf在][ba，上（）（A）有界；（B）连续；（C）有定义；（D）仅有有限个间断点。4．设2242 cos1sinxdxxxM，2243)cos(sindxxxN，22432)cossin(dxxxxP，则必有关系式（）（A）MPN；（B）PMN；（C）NPM；（D）NMP。5．设)(xfy在0xx的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00xfxf，而0)(0xf，则必有（）。（A）0x 是极值点，))((00xfx ，不是拐点；（B）0x 是极值点，))((00xfx ，不一定是拐点；（C）0x 不是极值点，))((00xfx ，是拐点；（D）0x 不是极值点，))((00xfx ，不是拐点。6．直线37423zyxL：与平面3224zyx：的位置关系是（）（A） L 与平行但 L 不在上；（B） L 与垂直相交；（C） L 在上； （D） L 与相交但不垂直。6．微分方程xxexeyyy3265的特解形式为（）(A)xxcxeebaxxy32)(*；（B）xxecxbaey32)(*；（C）xxceebaxy32)(*；(D) xxcxeebaxy32)(*三、计算下列各题（每小题7 分，共 28 分）1．计算40.122dxxx2．求dxxxx5423．设ttytxarctan)1ln(2，求22dxyd。4．求)11ln(lim2xxxx。四、解答下列各题（每小题7 分，共 21 分）1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。2．计算由椭圆12222byax所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。3*．在由平面0232zyx和平面03455zyx所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点)1,3,4(0M。3．在曲线上每一点),(yxM处切线在 y 轴上的截距为22xy，且曲线过点)2,1(0M。求此曲线方程。五、（7 分）设函数)(xf在30， 上连续，在（ 0，3）内可导，且有10)3()(31fdxxxf。试证：必有)3,0(使)()(ff。答案一、 1.ln3； 2.a=-1,b=2；3.1...