n阶行列式的计算方法VIP免费

n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。例 1 计算二阶行列式4231=D。解：223414231−=×−×==D例 2 计算三阶行列式210834021−−=D。解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nnnppppppaaa⋯⋯212121)()1(∑ − τ其中)(21nppp⋯ττ=， 求和式中共有 !n 项。显然有上三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnDλλλλλλ⋯⋱2121==另外nnnnDλλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式00 10020 010 0 000 0nDnn=−⋯⋯⋮⋮ ⋮ ⋮⋯⋯解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnna aa an−−−=⋯.该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于 (1)(2)2nn−−，故(1)(2)2( 1)!.nnnDn−−=−3．利用行列式的性质计算性质 1行列式与它的转置行列式相等, 即TDD =。注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。性质 2交换行列式的两行(列)，行列式变号。推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。性质 3用数k乘行列式的某一行(列), 等于用数k乘此行列式, 即kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121112112121112111。第i行(列)乘以k，记为kri× (或kci× )。推论 1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论 2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。性质 4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21221111211+++=。则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin+=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。性质 5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。例 4计算xaaaxaaaxDn⋯⋮⋮⋮⋯⋯=。解xaaaxaanxDnrrrn⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯111])1([)( 21−+=+++axax...