专题 11 数列求和及数列的简单应用1．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则 a2 017＝( )A．1 B．0C．－1 D．2解析： an＋1＝(an－1)2，又 a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴数列{an}的奇数项为 1，∴a2 017＝1，故选 A.答案：A2．已知正项数列{an}的前 n 项的乘积 Tn＝(n∈N*)，bn＝log2an，则数列{bn}的前 n 项和 Sn中的最大值是( )A．S6 B．S5C．S4 D．S3解析：Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝log2(a1a2…an)＝log2＝log22＝－2n2＋12n＝－2(n－3)2＋18.∴当 n＝3 时，Sn最大，即 S3最大．故选 D.答案：D3．已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，当 x<0 时，f(x)>1，且对任意的实数 x、y∈R，等式 f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足 a1＝f(0)，且 f(an＋1)＝(n∈N*)，则 a2 01 7的值为( )A．4 033 B．4 029C．4 249 D．4 209解析：根据题意，不妨设 f(x)＝x，则 a1＝f(0)＝1， f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2 017＝4 033.答案：A4．等差数列{an}中的 a4，a2 016是函数 f(x)＝x3－6x2＋4x－1 的极值点，则 loga1 010＝( )A. B．2C．－2 D．－解析：因为 f′(x)＝3x2－12x＋4，而 a4和 a2 016为函数 f(x)＝x3－6x2＋4x－1 的极值点，所以 a4和 a2 016为f′(x)＝3x2－12x＋4＝0 的根，所以 a4＋a2 016＝4，又 a4，a1 010，a2 016 成等差数列，所以 2a1 010＝a4＋a2 016，即 a1 010＝2，所以 loga1 010＝－，故选 D.答案：D5．已知数列{an}满足···…·＝(n∈N*)，则 a10＝( )A．e26 B．e29C．e32 D．e35答案：C6．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn且满足 S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为( )A. B.C. D.解析：由 S15＝＝15a8>0，得 a8>0.由 S16＝＝<0，得 a9＋a8<0，所以 a9<0，且 d<0.所以数列{an}为递减数列．所以 a1，…，a8 为正，a9，…，an 为负，且 S1，…，S15 为正．所以<0，<0，…，<0.又 0a2>…>a8>0，所以 0<<<…<.所以最大的项为，故选 D.答案：D7．数列{an}满足：a1 ＝1，且对任意的 m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝( )A. B.C. D.解析 法一 因为 an＋m＝an＋am＋mn，则可得 a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，则可猜得数列的通项 an＝，∴＝＝2，∴＋＋＋…＋...
