专题五 解析几何满分示范课【典例】 (满分 12 分)(2017·全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：＋y2＝1上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝ NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP·PQ＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.[规范解答] (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，1 分由NP＝ NM得 x0＝x，y0＝y，3 分因为 M(x0，y0)在 C 上，所以＋＝1，因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.5 分(2)由题意知 F(－1，0)，设 Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，7 分OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，9 分又由(1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，11 分又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.12分高考状元满分心得1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设 P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1 就得分．2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出 x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．[解题程序] 第一步：设出点的坐标，表示向量NP，NM；第二步：由NP＝ NM，确定点 P，N 坐标等量关系；第三步：求点 P 的轨迹方程 x2＋y2＝2；第四步：由条件确定点 P，Q 坐标间的关系；第五步：由OQ·PF＝0，证明 OQ⊥PF；第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．[跟踪训练](2018·江南名校联考)设椭圆 M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C 为椭圆 M 上的点，且∠ACB＝，S△ABC＝.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)设过椭圆 M 右焦点且斜率为 k 的动直线与椭圆 M 相交于 E，F 两点，探究在 x 轴上是否存在定点 D，使得DE·DF为定值？若存在，试求出定值和点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos ∠ACB＝(CA＋CB)2－3CA·CB＝4.又 S△ABC＝CA·CB·sin ...
