高中数学 课时分层作业10 一般形式的柯西不等式（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

课时分层作业(十) 一般形式的柯西不等式(建议用时：45 分钟)[基础达标练]一、选择题1．设 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是( )A．1 B.C．3 D．9B [由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，当且仅当 a＝b＝c＝时等号成立．∴＋＋的最大值为.故选 B.]2．设 a，b，c 是正实数，且 a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为( )A．4 B．3C．6 D．2D [ (a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥＝18.∴＋＋≥2.]3．设 a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则 P 与 Q 的大小关系为( )A．P＞Q B．P≥QC．P＜Q D．不确定B [由柯西不等式知(a＋a＋…＋a)·≥a1＋a2＋…＋an，∴·≥a1＋a2＋…＋an，即得≥，∴P≥Q.]4．若实数 x＋y＋z＝1，则 F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为( )A．1 B．6C．11 D.D [ (2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即 F≥，当且仅当 2x＝y＝3z 时，取等号．]5．已知 x，y，z 均大于 0，且 x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )A．24 B．30C．36 D．48C [(x＋y＋z)≥＝36，∴＋＋≥36.]二、填空题6．已知 a，b，c∈R，且 2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．[解析] 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，1∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2. 2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.[答案] 7．已知 a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则 a2＋4b2＋9c2的最小值为________．[解析] a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即 a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即 a＝2，b＝1，c＝时取等号．[答案] 128．设 x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则 3x－y－2z 的取值范围是__________．又3x－y－2z 取最小值时，x 的值为__________．[解析] [(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，∴－2≤3x－y－2z－5≤2，即 5－2≤3x－y－2z≤5＋2.若 3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，∴t＝－，∴x＝－＋1.[答案] [5－2，5＋2] －＋1三、解答题9．已知正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1.(1)求证：＋＋≥；(2)求 4x＋4y＋4z2的最小值．[解] (1)证明：...