高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例同步练习 湘教版选修1-1-湘教版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

3.4 生活中的优化问题举例1．甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示，现有四种说法：① 前三年该产品产量的增长速度越来越快；② 前三年该产品产量的增长速度越来越慢；③ 第三年后该产品停止生产；④ 第三年后该产品的产量保持不变．其中说法正确的有( )．A．①④ B．②④ C．①③ D．②③2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则其高为( )．A．cm B．100 cm C．20 cm D．cm3．设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为( )．A． B． C． D．24．某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是( )．A．100 B．150 C．200 D．3005．用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长 0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？此时的高和它的最大容积分别是( )．A．1.2 m,1.8 m3 B．1.1 m,1.8 m3 C．1.8 m,1.2 m3 D．1.2 m,2.1 m36．某厂生产某种商品 x 单位的利润是 L(x)＝500＋x－0.001x2，生产__________单位这种商品时利润最大，最大利润是__________．7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要求体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__________．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时 10 海里时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问：轮船的速度是多少时，航行 1 海里所需的费用总和最小？此时的速度为__________，般行 1 海里所需的费用总和为__________．1参考答案1．B2．A 如图，设底面半径为 r，高为 h，则有＝sin θ，＝cos θ，∴V(θ)＝πr2·h＝8 000πsin2θcos θ.∴V′(θ)＝16 000πsin θcos2θ－8 000πsin3θ.令 V′(θ)＝0，解得 tan θ＝，得唯一极值点．∴cos θ＝.∴h＝.3．C 设底面边长为 x，则表面积 S＝x2＋(x＞0)，所以 S′＝(x3－4V)．令 S′＝0，得唯一极值点 x＝.4．D 设总利润为 y，则 y＝f(x)＝当 x∈(400，＋∞)时，f′(x)＝－100≠0，此时 y 无最值．当 x∈[0,400]时，f′(x)＝－x＋300.令 f′(x)＝0，得 x＝300.由 f′(x)在 x＝300 处由正变负，故 y 在 x＝300 处有唯一极值点．又 f(0)＜0，f(400)＜0，∴f(300)为...