第 6 课时 与圆有关的比例线段（二）素质训练1．如图所示，AB，AC 切⊙O 于 B，C 两点，AO 交⊙O 于 D，过 D 作⊙O 的切线分别交 AB，AC 于E，F，若 OB＝6，AO＝10，则△AEF 的周长是( )A．10 B．12C．14 D．16【答案】D【解析】根据切线长定理 AC＝AB，FD＝FC，ED＝EB，∴△AEF 的周长＝AE＋AF＋EF＝2AB．又 AB＝＝＝8，∴△AEF 的周长为 16.故选 D．2．(2016 年和平区一模)如图，PA 切圆 O 于点 A，割线 PBC 经过圆心 O，若 PB＝OB＝1，OD 平分∠AOC，交圆 O 于点 D，连接 PD 交圆 O 于点 E，则 PE 的长等于( )A． B．C． D．【答案】B【解析】PB＝OB＝1，PA 切圆 O 于点 A，所以∠AOB＝60°.因为 OD 平分∠AOC，所以∠AOD＝60°，所以∠POD＝120°.由余弦定理得，PD2＝OD2＋OP2－2OD·OPcos 120°＝1＋4－2×1×2×＝7，所以 PD＝.根据割线定理 PE·PD＝PB·PC 得，PE＝1×3，所以 PE＝. 故选 B．3．如图所示，半径为 5 的⊙O 的两条弦 AD 和 BC 相交于点 P，OD⊥BC，P 为 AD 的中点，BC＝6，则弦 AD 的长度为( )A．3 B．4C．2 D．21【答案】D【解析】设 OD 与 BC 的交点为 E. OD⊥BC，∴E 为 BC 的中点．∴OE＝＝4.连接 OP， P 为 AD 的中点，∴OP⊥AD．由直角三角形射影定理，OP2＝OE·OD＝4×5＝20，∴PD＝＝，AD＝2PD＝2.故选 D．4．如图所示，圆 O 是△ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 BA 的延长线于点 D，CD＝2，AB＝3，则 BD 的长为________．【答案】7【解析】由切割线定理，DC2＝DA·DB，∴(2)2＝DA·(DA＋3)，解得 DA＝4，∴DB＝7.5．如图所示，等腰三角形 ABC 的底边 AC 长为 6，其外接圆的半径长为 5，则三角形 ABC 的面积是________．【答案】3【解析】连接 OB 交 AC 于 M，连接 OA，OC． AB＝BC，∠AOB＝∠COB，∴M 是 AC 的中点，BM⊥AC．由相交弦定理，BM·(10－BM)＝MA·MC，∴BM·(10－BM)＝32，解得 BM＝9(舍去)或 BM＝1.∴三角形 ABC 的面积是 3.6．(2016 年湖南模拟)如图，BD 是半圆 O 的直径，A 在 BD 的延长线上，AC 与半圆相切于点E，AC⊥BC，若 AD＝2，AE＝6，则 EC＝________.【答案】3【解析】连接 OE，OE⊥AC， AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得 AE2＝AD·AB，即 36＝2·AB，解得 AB＝6.所以 BD＝4，AO＝4.可得＝＝，所以 AC＝AE＝9，EC＝AC－AE＝3.7．如图...
