完整版,线性代数中的证明题集VIP免费

1．利用行列式展开定理证明：当时，有1100010001000000001nnnDLLLMMMOMMLL．证： 将行列式按第一行展开，得12()nnnDDD，则211223()()nnnnnnDDDDDD22221()[()()]nnnDDL，所以1nnnDD．（1）由nD 关于与对称，得1nnnDD．（2）由（ 1）与（ 2）解得11nnnD．2．已知 1326、2743、5005、3874 都能被 13 整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被 13 整除．证：41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874cccccc．由已知，得后行列式的第4 列具有公因子 13，所以原行列式能被13 整除．3．证明 :222244441111()()()()()()()abcdab acadbc bdcdabcdabcdabcd．证： 构造 5 阶行列式222225333334444411111abcdxDabcdxabcdxabcdx，则5()()()()()()()()()()Dba cada cb dbdcxaxbxc xd．（1）将5D 按第 5 列展开，得435222222223333444411111111()abcdabcdDxxabcdabcdabcdabcdL．（2）比较（ 1）与（ 2）右边3x 的系数，知结论成立．4．证明：当ba4)1(2时，齐次线性方程组0)(,03,02,04321432143214321xbaxaxxxxxxxxxxaxxxx有非零解．证： 方程组的系数行列式21111211(1)4113111aDabaab，当0D，即ba4)1(2时，方程组有非零解．5．若 A 为 n 阶对称矩阵，P 为 n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵．证：因为 ()()TAATTTTTTTP APP APP AP ，所以TP AP 为对称矩阵．6．设,,A B C 都是 n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆．证： ABC 可逆000,0,0ABCABCABC,,A B C 都可逆．7．设 n 阶方阵 A 满足23AAO ，证明2AE 可逆，并求12AE．证： 由23AAO ，得 (2)()2AEAEE ，即(2 )2AEAEE ，所以2AE 可逆，且12AE2EA．8．设 A 为 n 阶矩阵，且OA3，证明AE及AE都是可逆矩阵．证：由2AO ，得2()()EA EAAE 及2()()EAEAAE ，所以AE及AE都是可逆矩阵．9．（ 1）设1P APB ，证明1kkBP A P ．（ 2）设PBAP，且100100210 ,000211001PB，求 A 与2011A．证： （1）111111()() ()()kkkBPAPPA PPA PPPPAPPA PL．（2）由PBAP，得1APBP，且201120111APBP．又12011100100210 ,000411001PBB ，所以20111100200,611AAPBPA ．10．（1）设OBACO，且 m 阶矩阵 B 和 n 阶矩阵 C 均可逆， 试证明111OCABO．（ 2）设矩阵121000000000000nnaaAaaLLMMMMLL，其中12,,,na aaL为非零常数，求1A．证： （1）因为1111OBEOOCBBOECOOEBOOCC，所以 A...