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完整版,线性代数中的证明题集VIP免费

完整版,线性代数中的证明题集_第1页
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完整版,线性代数中的证明题集_第3页
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1.利用行列式展开定理证明:当时,有1100010001000000001nnnDLLLMMMOMMLL.证: 将行列式按第一行展开,得12()nnnDDD,则211223()()nnnnnnDDDDDD22221()[()()]nnnDDL,所以1nnnDD.(1)由nD 关于与对称,得1nnnDD.(2)由( 1)与( 2)解得11nnnD.2.已知 1326、2743、5005、3874 都能被 13 整除,不计算行列式的值,证明4783500534726231能被 13 整除.证:41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874cccccc.由已知,得后行列式的第4 列具有公因子 13,所以原行列式能被13 整除.3.证明 :222244441111()()()()()()()abcdab acadbc bdcdabcdabcdabcd.证: 构造 5 阶行列式222225333334444411111abcdxDabcdxabcdxabcdx,则5()()()()()()()()()()Dba cada cb dbdcxaxbxc xd.(1)将5D 按第 5 列展开,得435222222223333444411111111()abcdabcdDxxabcdabcdabcdabcdL.(2)比较( 1)与( 2)右边3x 的系数,知结论成立.4.证明:当ba4)1(2时,齐次线性方程组0)(,03,02,04321432143214321xbaxaxxxxxxxxxxaxxxx有非零解.证: 方程组的系数行列式21111211(1)4113111aDabaab,当0D,即ba4)1(2时,方程组有非零解.5.若 A 为 n 阶对称矩阵,P 为 n 阶矩阵,证明TP AP 为对称矩阵.证:因为 ()()TAATTTTTTTP APP APP AP ,所以TP AP 为对称矩阵.6.设,,A B C 都是 n 阶矩阵,证明:ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆.证: ABC 可逆000,0,0ABCABCABC,,A B C 都可逆.7.设 n 阶方阵 A 满足23AAO ,证明2AE 可逆,并求12AE.证: 由23AAO ,得 (2)()2AEAEE ,即(2 )2AEAEE ,所以2AE 可逆,且12AE2EA.8.设 A 为 n 阶矩阵,且OA3,证明AE及AE都是可逆矩阵.证:由2AO ,得2()()EA EAAE 及2()()EAEAAE ,所以AE及AE都是可逆矩阵.9.( 1)设1P APB ,证明1kkBP A P .( 2)设PBAP,且100100210 ,000211001PB,求 A 与2011A.证: (1)111111()() ()()kkkBPAPPA PPA PPPPAPPA PL.(2)由PBAP,得1APBP,且201120111APBP.又12011100100210 ,000411001PBB ,所以20111100200,611AAPBPA .10.(1)设OBACO,且 m 阶矩阵 B 和 n 阶矩阵 C 均可逆, 试证明111OCABO.( 2)设矩阵121000000000000nnaaAaaLLMMMMLL,其中12,,,na aaL为非零常数,求1A.证: (1)因为1111OBEOOCBBOECOOEBOOCC,所以 A...

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