一类高考导数压轴题的统一解法163316 黑龙江省大庆实验中学姜本超导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力. 作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在 . 2011 年全国新课标卷理科数学21 题就是一道典型的以导数为背景，通过求最值分类讨论解决恒成立问题。学生在思考的过程中会产生两种常见的想法，但并不是每一种方法都能达到预期的效果，下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。原题：（2011 年高考试题全国新课标卷理科数学21 题）已 知 函 数ln( )1axbf xxx， 曲 线( )yf x在 点 (1, (1))f处 的 切 线 方 程 为230xy．（I）求,a b 的值；（II）如果当0x且1x时，ln( )1xkf xxx，求 k 的取值范围．解：（I）略（ II ）由（Ⅰ）知22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx．考虑函数( )2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'( )kxxh xx．(i) 设0k，由222(1)(1)'( )k xxh xx知，当1x时，'( )0h x．而(1)0h，故当(0,1)x时，( )0h x，可得21( )01h xx；当(1,)x时，( )0,h x21( )01h xx可得从而当0,x且1x时，ln( )1xkf xxx恒成立（ ii ）设 01k时 由于当21(1,)(1)(1)20,1xkxxk时，故'( )0,h x而1(1)0,(1,)1hxk故当时，( )0,h x21( )01h xx与题设矛盾（ iii ）设1,'( )0,(1)0,kh xh此时而故当(1,)( )0,xh x时，可得出矛盾综合可得 k 的取值范围是(,0]评析： 该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数，通过讨论该函数的单调性和零点，找出恒成立的范围， 再举出反例将其它范围舍去。在解决该类问题时还有一个常见的办法，就是分离变量，下面我们试一试。解：分离变量得221ln1xkxx由于在1x时没有意义，故变形为221(12 ln )1kxxxx，令2( )12 lng xxxx则1'( )2(1 ln ),''( )2(1)gxxx gxx，易知当1x时'( )g x 取到最小值所以'( )'(1)0gxg，(1)0g所以1( )0,01( )0xg xxg x时时所以221(12 ln )01xxxx恒成立，故 k 的取值范围是(,0]评析： 采用分离变量方法使计算过程变得简单明了，但仔细观察不难发现，这样的分离变量是有问题的， 因为在1x时原函数是没有意义的，我们并不知道在1x时的极限， 并且要证明函数的连续性，这些知识超出了高中的学习范围，是大学知识。事实证明，...
