数学竞赛讲义第6讲调和四边形与陪位中线VIP专享VIP免费

调和四边形与陪位中线 一、知识解析 定义1 调和四边形 圆内接四边形ABCD 称为调和四边形，如果对圆上任意一点P，直线PA 、 PC ；PB 、 PD 成调和线束。 对话 1 关于定义 从定义中容易看出“调和”二字的来源。你要注意的是，当 P点和四边形的一个顶点比如 A 重合时， PA 指的是圆在 A 点的切线。 定理 1 调和四边形的另一个等价定义 圆内接四边形ABCD 是调和四边形的充要条件是它的对边之积相等，即AB CDAD BC。 定理 1 的证明 如图，P是圆内接四边形ABCD 的外接圆上的一点，则 AB CDAD BC 2sin2 sin2sin2sinRAPBRCPDRAPDRBPC sinsinsinsinAPBCPBAPDCPD  PA 、 PC ； PB 、 PD 成调和线束。 对于 P与四边形顶点重合的情况，容易看出是和前面的情况统一的，这里就不再另外给出证明。 对话 2 几种调和四边形 知道了调和四边形的定义后，你可能想知道这样的四边形会是什么样子。我们先来看两种特殊情形：筝形是最简单的一类调和四边形，如下左图，它关于一条对角线对称，容易看出它满足定理 1。如下右图被称为调和梯形， 而更一般的构造调和四边形的方法如下图所示，过圆外一点P作圆的两条切线，切点分别是 A 和 C ，再过 P作圆的一条割线交圆于 B 、 D 。之后我们会看到，四边形ABCD 是一个调和四边形。在这之前我们先来介绍另一个重要概念：陪位中线。 CDBAPDCBA 定义2 陪位中线 在ABC中，M 是BC 的中点，和AM 关于BAC平分线对称的直线称为ABC的A陪位中线，如下图的AN ，其中BANCAM 。同理我们可以定义ABC的B 陪位中线和C 陪位中线。 定理2 陪位中线的性质 如图，在ABC中，N 是BC 上一点，AN 是ABC的A 陪位中线，则有 （1）2BNABCNAC ； （2）设K 是AN 上不同于A 的任意一点，K 到AB 、 AC 的距离之比 KEKF 等于三角形两边之比ABAC ； （3）设线段 XY 是BC 关于AB 、 AC 的逆平行线，则AN 平分XY 。 定理2 的证明 （1）由三角形的面积公式，BNS ABNNCS ACN1sinsin21sinsin2AB ANBANABBANACCANAC ANCAN，同理sin1sinBMABBAMMCACCAM。而BANCAM ，CANBAM ，所以两式相乘得2BNABNCAC ； DACPBDNMBCAKYNMBCAXFENMBCAK （2）利用（1）的证明，sinsinKEBANABKFCANAC； （3）设AN...