数论的方法技巧 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有： 1．带余除法：若 a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得 a=bq+r（0≤r＜b）， 且q，r是唯一的。 特别地，如果 r=0，那么 a=bq。这时，a被 b整除，记作 b|a，也称 b是a的约数，a是b的倍数。 2．若 a|c，b|c，且a，b互质，则 ab|c。 3．唯一分解定理：每一个大于 1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中 p1＜p2＜„＜pk为质数，a1，a2，„，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为 n的质因数分解或标准分解。 4．约数个数定理：设 n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）„（ak+1）。 5．整数集的离散性：n与 n+1之间不再有其他整数。因此，不等式 x＜y与 x≤y-1是等价的。 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+„+a0； 2．带余形式：a=bq+r； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。 例1 红、黄、白和蓝色卡片各 1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成 1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 1998。问：红、黄、蓝 3张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是 a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位数字之和的10倍是 10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0， 这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是 990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222。 比较上式等号两边个位、十...
