第七章实数的完备性教学目的：1. 使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2. 明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。教学重点难点 ：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。教学时数 ：14 学时§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4 学时）教学目的：1. 使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2. 明确基本定理是数学分析的理论基础。教学重点难点 ：实数完备性的基本定理的证明。一．确界存在定理： 回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .二.单调有界原理 : 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor 闭区间套定理 : 1.区间套 : 设是一闭区间序列 . 若满足条件ⅰ>对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ⅱ>. 即当时区间长度趋于零 . 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 . 简而言之 , 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列 . 区间套还可表达为 : . 我们要提请大家注意的是 , 这里涉及两个数列和, 其中递增 , 递减 . 例如和都是区间套 . 但、和都不是 . 2.Cantor 区间套定理 : Th 3 设是一闭区间套 . 则存在唯一的点, 使对有. 简言之 , 区间套必有唯一公共点 . 四． Cauchy 收敛准则——数列收敛的充要条件 : 1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例 1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴ . ⑵ . 解⑴ ; 对，为使，易见只要 . 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有, 又 . 当为奇数时 , , . 综上 , 对任何自然数, 有. ⋯⋯Cauchy 列的否定 : 例 2 . 验证数列不是 Cauchy列. 证对, 取, 有. 因此 , 取, ⋯⋯2.Cauchy收敛原理 : Th 4 数列收敛是 Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、 函数连续的 Cauchy准则，并以 Cauchy收敛原理为依据，利用 Heine 归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理 : 数集的聚点定义设是无穷点集 . 若在点( 未必属于) 的任何邻域内有的无穷多个点 , 则称点为的一个聚点 . 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的...
