第8 讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求 A、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点 A 处绕圆锥一周回到 A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B 到内侧点A 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A 关于杯口的对称点'A ，根据“两点之间，线段最短”可知'A B 即为最短距离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题 1 】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm ，3 cm 和 1 cm ，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想要到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？ 【答案】1 3 cm 【解析】 试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，2251 21 3ABcm 所以，蚂蚁爬行的最短路线是1 3 cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2 】如下图，正四棱柱的底面边长为5 cm ，侧棱长为8 cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？ 【答案】cm4 12 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1 ，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B 与 BB’C’C 相连，连接 AC’，使 E 点在 AC’上（如图2 ） )(4 1281 0')('2222cmCCBCABAC 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm4 12 【难度】一般 【例题3 】如下图所示，圆柱形玻璃容器高1 8 cm，底面周长为6...
