1.中点弦问题(点差法)VIP免费

- 1 - 圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题 圆锥曲线的中点弦问题------点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11 yxA、),(22 yxB，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222babyax与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0)，则有 02020kbyax。 （2）)0,0(12222babyax与直线l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0)则有 02020kbyax （3）y 2=2p x（p >0）与直线l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0),则有 2y 0k=2p ,即 y 0k=p . 经典例题讲解 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 例 1 、过椭圆141622 yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解 ： 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为),(11 yxA、),(22 yxB  )1,2(M为AB 的 中 点 421 xx 221 yy 又A 、B 两 点 在 椭 圆 上 ， 则1642121yx，1642222yx - 2 - 两 式 相 减 得0)(4)(22212221yyxx 于 是0))((4))((21212121yyyyxxxx 21244)(421212121yyxxxxyy 即21ABk， 故 所 求 直 线 的 方 程 为)2(211xy， 即042yx。 例2 、已知双曲线1222 yx，经过点)1,1(M能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于 A 、B ，且点 M 是线段 AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且 ),(11 yxA、),(22 yxB 则221 xx，221 yy 122121 yx...