高等数学(下)期末考试模拟试卷 2一、选择题（每题 3 分，共 18 分）1. 微分方程所确定的积分曲线是 ( ) (A) 单调递增的 (B) 单调递减的 (C) 凹的 (D) 凸的2. 设函数的全微分为，则点 ( )(A) 不是的连续点 (B) 是的极小值点(C) 是的极大值点 (D) 不是的极值点 3. 设反常积分，则有 ( )(A) 等于 (B) 等于 (C) 等于 (D) 发散4. 下列级数中收敛的是 ( ) . (A) (B) (C) (D)5. 若收敛，则与 ( ).(A) 同时绝对收敛 (B) 同时条件收敛 (C) 同时发散 (D) 不同时收敛6. 下列函数中可作为某二阶微分方程的通解的是( )(A) (B) (C) (D) 二、填空题（每题 3 分，共 18 分）17. 微分方程满足的特解是 . 8. 设是连续函数，且，则 . 9. 定积分= . 10. 设是由确定，则 . 11. 二次积分交换积分次序后得 .12. 函数展开成的幂级数为 .三、解答题（一） （每题 6 分，共 24 分）13. 计算极限：(1)；(2) . 14. 计算积分：（1）；（2）.15. 设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.16. 计算二重积分.四、解答题（二） （每题 6 分，共 30 分）17. 解微分方程 .18. 解微分方程. 219. 求幂级数的收敛域及其和函数.20. 求函数在条件下的最小值.21. （1）证明：若正项级数收敛，则级数 收敛. （2）如果去掉条件“正项级数”，上述命题是否成立？并说明理由.五、应用题（第 22 题 4 分，第 23 题 6 分，共 10 分）22. 已知某商品需求量 Q 对价格 p 的弹性为，且该商品的最大需求量为 1200 (即时，)，求该商品的需求函数.23. 设.（1）求曲线与的切点的坐标；（2）若与轴的交点为，求曲边三角形的面积；（3）求曲边三角形绕轴旋转一周得到的立体的体积.3高等数学(下)期末考试模拟试卷 2 参考答案一、选择题（每题 3 分，共 18 分）1. C ； 2. B； 3. D ； 4. C； 5. A； 6. D二、填空题（每题 3 分，共 18 分）7. ； 8. ； 9. ； 10. 1；11. ； 12. 三、解答题（一） （每题 6 分，共 24 分）13. 解：（1）原式； （2）原式=.14. 解：（1），；（2）原式.415. 解：； ；.16. 解： .四、解答题（二） （每题 6 分，共 30 分）17. 解： 令，代入得； 积分得 初始条件代入得，故解为. 18. 解： ， 设特解，代入解得，通解.19. 解：收敛半径为 1，收敛域；，，且，. 20. 解：构造拉格朗日函数 5解得，故. 21. （1）证明：，而正项级数收敛，由比较判敛法知收敛. （2）去掉“正项级数”这一条件不成立，反例：收敛，而发散. 五．应用题（第 22 题 4 分，第 23 题 6 分，共 10 分）22. 解：，两边积分得，即， 将时,代入得：故. 23. 解：（1）设切点坐标为，则；即 ，解得； （2），；（3）.6
