函数、导数“任意、存在”型问题归纳VIP免费

1 函 数 导 数 任意性和存在性问题探究 导 学 语 函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下： 题 型 分 类 解 析 一．单一函数单一“任意”型 战略思想一：“ xA，( ) ( )af x 恒成立”等价于“当 xA时，max( ) ( )af x ”； “ xA，( ) ( )af x 恒成立”等价于“当 xA时，min( ) ( )af x ”. 例 1 ：已知二次函数2( )f xaxx，若[0,1]x时，恒有| ( ) | 1f x ，求实数a 的取值范围. 解：| ( ) | 1f x ，∴211axx  ；即211xaxx  ； 当0x 时，不等式显然成立，∴a∈R. 当01x时，由211xaxx  得：221111axxxx， 而min211()0xx，∴0a . 又 max211()2xx  ，∴2,20aa   ， 综上得 a 的范围是[ 2,0]a . 二．单一函数单一“存在”型 战略思想二：“ xA，使得( ) ( )af x 成立”等价于“当 xA时，min( ) ( )af x ”； “ xA，使得( ) ( )af x 成立”等价于“当 xA时，max( ) ( )af x ”. 例 2. 已知函数2( )lnf xaxx(aR)，若存在[1, ]xe，使得( )(2)f xax成立，求实数a 的取值范围. 解析：( )(2)f xaxxxxxa2)ln(2 . [1, ]xe，∴xx1ln且等号不能同时取，所以xx ln，即0lnxx， 因而xxxxaln22， [1, ]xe， 令xxxxxgln2)(2],1[ ex，又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg， 当],1[ ex时，1ln,01xx，0ln22xx， 从而0)( xg（仅当 x=1 时取等号），所以)(xg在],1[ e 上为增函数， 故)(xg的最小值为 1)1(g，所以 a 的取值范围是 ),1[． 三．单一函数双“任意”型 af(x )下限f(x )上限af(x )下限f(x )上限 2 战略思想三： xR，都有12" ()( )()"f xf xf x12(),()f xf x分别是 ( )f x的最小值和最大值，12||xxmin 是同时出现最大值和最小值的最短区间. 例3. 已知函数( )2sin()25xf x...