第 4讲 整数的分拆 整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。 整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。 例 1 电视台要播放一部 30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。 我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为 1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出 28集，还剩 2集未播出。由于已有过一天播出 2集的情形，因此，这余下的 2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为 1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。 所以最多可以播 7天。 说明：本题实际上是问，把正整数 30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如： 5=1+1+1+1+1=1+1+1+2， =1+2+2 =1+1+3 =2+3 =1+4，共有 6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。 例 2 有面值为 1分、2分、5分的硬币各 4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法？ 分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。因为全部 1分和 2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。 当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多 4枚，最少 2枚，可有 23=15+（2+2+2+2）， 23=15+（2+2+2+1+1）， 23=15+（2+2+1+1+1+1）， 共3种支付方法。 当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有 23=20+（2+1）， 23=20+（1+1+1）， 共2种支付方法。 总共有 5种不同的支付方法。 说明：本题是组合学中有限条件的整数分拆问题的一个特例。 例 3 把 37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？ 解：37=3+5+29 =2+5+7+23=3+11+23， =2+3+13+19=5+13+19 =7+11+19=2+5+11+19 =7+13+17=2+5+13+17 =2+7+11+17， 共10种不同拆法，其中 3×5×29=435最小。 说明：本题属于迄今尚...
