矩阵三角分解法VIP免费

矩阵三角分解法数值计算方法矩阵三角分解法矩阵三角分解法是高斯消去法解线性方程组的一种变形解法1.1矩阵三角分解原理应用高斯消去法解n阶线性方程组Ax=b,经过n步消元之后,得出一个等价的上三角型方程组A(n)x=b(n),对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。上述过程可通过矩阵分解来实现。将非奇异阵A分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积A=LU称为对矩阵A的三角分解，又称LU分解)()3(3)3(33)2(2)2(23)2(22)1(1)1(13)1(12)1(1121323121,1111nnnnnnnnaaaaaaaaaaUmmmmmLLUaaaaaaaaaaaaaaaaAnnnnnnnn321333323122322211131211其中方程组Ax=b的系数矩阵A经过顺序消元逐步化为上三角型A(n),相当于用一系列初等变换左乘A的结果。事实上，第1列消元将A(1)=A化为A(2)，若令：10000100010001131211nmmmL),,3,2(,)1(11)1(11niaamii则根据距阵左乘有L1A(1)=A(2)第2列消元将A(2)化为A(3)，若令：1000010001000012322nmmL),,4,3(,)2(22)2(22niaamii经计算可知L2A(2)=A(3),依此类推,一般有LkA(k)=A(k+1)11111,1nkkkkmmLmi1=a(1)i1/a(1)11i=2,3,……n于是矩阵经过消元化为上三角阵的过程可表示为上述矩阵是一类初等矩阵,它们都是单位下三角阵，且其逆矩阵也是单位下三角阵,只需将改为,就得到。即)1(AA)(nA)(1221nnnAALLLL)1,,2,1(nkLkikm),,2,1(nkkimik1kL11111,11nkkkkmmL于是有LUULLLALLLAnnn)()(111211)(111211)()3(3)3(33)2(2)2(23)2(22)1(1)1(13)1(12)1(1121323121,1111nnnnnnnnaaaaaaaaaaUmmmmmL其中L为由乘数构成的单位下三角阵，U为上三角阵，由此可见，在的条件下，高斯消去法实质上是将方程组的系数矩阵A分解为两个三角矩阵的乘积A=LU。这种把非奇异矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积称为矩阵的三角分解，又称LU分解。显然，如果,由行列式的性质知，方程组系数矩阵A的前n-1个顺序主子矩阵非奇异，即顺序主子式不等于零，即)1,,2,1(0)(nkakkk)1,,2,1(0)(nkakkk)1,,2,1(nkAk0)det()1(111aA),,3,2(0)det()()2(22)1(11kiaaaAiiii其中iiiiiaaaaAaA1111111),(（A的主子阵）反之,可用归纳法证明,如果A的顺序主子式),,2,1(0)det()()2(22)1(11kiaaaAiiii则),,2,1(0)(kiaiii于是得到下述定理：定理3.5设。如果A顺序各阶主子式,,则A可惟一地分解成一个单位下三角阵L和一个非奇异的上三角阵U的乘积。证：由于A各阶主子式不为零,则消元过程能进行到底,前面已证明将方程组的系数矩阵A用初等变换的方法分解成两个三角矩阵的乘积A=LU的过程。现仅证明分解的惟一性。设A有两种LU分解nnRA)1,,2,1(0)det(niAiULLUA其中为单位下三角阵，为上三角阵 A的行列式均为非奇异矩阵,有上式两边左边同乘，右边同乘得上式左边为单位下三角阵,右边为上三角阵,故应为单位阵,即惟一性得证。LL,UU,ULULA,,,,0ULLU1L1U11UULLUULL,把A分解成一个单位上三角阵L和一个下三角阵U的乘积称为杜利特尔（Doolittle）分解。其中nnnnnnuuuuuuUlllL222112112121,111若把A分解成一个下三角阵L和一个单位上三角阵U的乘积称为克洛特分解Crout）其中111,211221222111nnnnnnuuuUllllllL1.2用三角分解法解方程组求解线性方程组Ax=b时,先对非奇异矩阵A进行LU分解使A=LU，那么方程组就化为LUx=b从而...