专题 22 直角三角形的存在性破解策略以线段 AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：ABABECFEFABC直角三角形的另一个顶点在以A 在以 AB为直径的圆上，或过A、B 且与 AB垂直的直线上（ A，B两点除外）．解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．如图，若∠ ACB＝90° ．过点A、B 作经过点C 的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△ CFB．从而得到线段间的关系式解决问题．（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！例题讲解例 1 如图，抛物线l ：y＝ax2＋2x－3 与 r 轴交于 A，B（3，0）两点（点A 在点 B 的左侧）．与 y 轴交于点 C（0，3）．已知对称轴为x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）设点 P是抛物线 l 上任意一点，点Q在直线 x＝－ 3 上，问：△ PBQ能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．xyCBAOlxyCMNABOQlPxylQAONBPM解：（1 ）由题意可得点A 的坐标为（ 1， 0）．所以抛物线表达式可变为y＝a（ x－3）（ x＋1）＝ ax2－2ax－3a由点 C的坐标可得－ 3a＝ 3，a＝－ 1 所以抛物线的表达式为y＝－ x2＋2x＋3．（2）如图，过点P作 PM垂直于直线l ，垂足为M．过点 B 作 BN垂直于直线PM．垂足为 N．若△ PBQ是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，2无论点 P 在 BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM∽△ BPN．所以 PM＝BN．设点 P 的坐标为（ m，H，－ m2＋2m＋ 3）．则 PM＝| m＋3| ，BN＝ | －m2＋2m＋3| ，所以 | m＋ 3|＝| －m2＋2m＋3| ．解得 m1＝0，m2＝1，m3＝ 3+ 332，m4＝ 3332－所以点 P 的坐标为（ 0，3），（1，4），（ 3+ 132，332－9－），（ 332－，32+3－ 9）例 2 如图，一次函数y＝－ 2x＋10 的图象与反比例函数y＝ kx（k＞ 0）的图象相交于A、B两点（点 A 在点 B 的右侧），分别交x 轴． y 轴于点 E，F．若点 A的坐标为（ 4 ，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P． 使△ PAB是以 AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，xyBAFPOExyOPEBFA解：...
