2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：子数列问题VIP专享VIP免费

§6.7 子数列问题 子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 题型一 奇数项与偶数项 例 1 (2023·南 通 模 拟 )在数列{an}中，an＝ 2n－1，n为奇数，2n，n为偶数. (1)求a1，a2，a3； (2)求数列{an}的前n 项和Sn. 解 (1)因 为 an＝ 2n－ 1， n为 奇 数 ，2n， n为 偶 数 ， 所 以 a1＝ 2×1－ 1＝ 1， a2＝ 22＝ 4， a3＝ 2×3－ 1＝ 5. (2)因 为 an＝ 2n－ 1， n为 奇 数 ，2n， n为 偶 数 ， 所 以 a1， a3， a5， …是 以 1 为 首 项 ， 4 为 公 差 的 等 差 数 列 ， a2， a4， a6， …是 以 4 为 首 项 ， 4 为 公 比 的 等 比 数 列 ． 当 n 为 奇 数 时 ， 数 列 的 前 n 项 中 有 n＋ 12 个奇 数 项 ， 有 n－ 12 个偶 数 项 ． 所 以 Sn＝ a1＋ a2＋ a3＋ …＋ an＝ (a1＋ a3＋ …＋ an－ 2＋ an)＋ (a2＋ a4＋ …＋ an－ 3＋ an－ 1) ＝ n＋ 12 ×1＋n＋ 12 n＋ 12 － 12×4＋124 1414n ＝ n2＋ n2＋ 2n＋ 1－ 43； 当 n 为 偶 数 时 ， 数 列 {an}的 前 n 项 中 有 n2个奇 数 项 ， 有 n2个偶 数 项 ． 所 以 Sn＝ a1＋ a2＋ a3＋ …＋ an＝ (a1＋ a3＋ …＋ an－ 3＋ an－ 1)＋ (a2＋ a4＋ …＋ an－ 2＋ an) ＝ n2×1＋n2n2－ 12×4＋24 1414n ＝ n2－ n2＋ 2n＋ 2－ 43. 所 以 数 列 {an}的 前 n 项 和 Sn＝ n2＋ n2＋ 2n＋ 1－ 43， n为 奇 数 ，n2－ n2＋ 2n＋ 2－ 43， n为 偶 数 . 思维升华 解 答 与奇 偶 项 有 关 的 求 和 问 题 的 关 键 (1)弄 清 n 为 奇 数 或 偶 数 时 数 列 的 通 项 公 式 ． (2)弄 清 n 为 奇 数 时 数 列 前 n 项 中 奇 数 项 与偶 数 项 的 个 数 ． 跟踪训练1 (2021·新 高 考 全 国 Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ an＋1，n为奇数，an＋2，n为偶数. (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20 项和． 解 (1)因 为...