巧用切线长定理解题VIP专享VIP免费

巧用切线长定理解题林绍隆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。本文就切线长定理在计算和证明中的应用，举几种常见的类型，以供参考。一、求角度例 1. 如图 1 所示， CA和 CB都是⊙ O的切线，切点分别是A、B，如果⊙ O的半径为 2 3 ，且 AB＝6，求∠ ACB的度数。图 1解： 连接 OC交 AB于点 D∵CA、CB分别是⊙ O的切线∴CA＝CB，OC平分∠ ACB故 OC⊥AB由 AB＝6，可知 BD＝3在 Rt△OBD中， OB2 3故 sin∠BODBDOB32 332所以∠ BOD＝ 60°又因 B 是切点，故OB⊥BC，所以∠ OCB＝ 30° ，则∠ ACB＝60° 。二、求线段长例 2. 如图 2，在△ ABC中，∠ ABC＝90° ， O是 AB上的一点，以O为圆心， OB为半径的圆与AB交于点 E，与 AC切于点 D，连接 DB、DE、OC，若 AD＝2，AE＝1。求 CD的长。图 2解： ∵∠ ABC＝90° ， OB是半径∴CB切⊙ O于点 B∵AC切⊙ O于点 D∴CB＝CD由 AC切⊙ O于点 D，可得 ADAEAB2·而 AD＝2，AE＝1，故 AB＝4设 CDCBx ，在 Rt△ABC中，有 ()xx24222 ，解得 x3即 DC＝3。三、证线段相等例 3. 如图 3，在 Rt△ABC中，∠ ACB＝90° ，以 BC为直径的圆交AB于点 D，过点 D作⊙ O的切线 EF交 AC于点 E。求证： AE＝DE。图 3证明： 连接 CD。由 BC是⊙ O的直径，可得∠CDB＝90°又因∠ ACB＝ 90° ，故 CE切⊙ O于点 C。因 DE切⊙ O于点 D，故 CE＝DE所以∠ EDC＝∠ ECD则∠ EDC＋∠ ADE＝90° ，∠ ECD＋∠ A＝90°∴∠ ADE＝∠ A。所以 DE＝AE。四、证明线段成比例例 4. 如图 4，AB是半圆 O 的直径， C是半圆 O上一点， CD⊥AB于点 D，从 C、B 两点分别作半圆 O的切线，它们相交于点E，连接 AE交 CD于点 P。求证： PD：CE＝AD： AB。图 4证明： 显然∠ PDA＝90°∵EB为半圆 O的切线， AB是半圆 O的直径，∴EB⊥AB，即∠ EBA＝90°又因∠ PAD＝∠ EAB，所以△ APD∽△ AEB∴PD：BE＝AD：AB由 EC、EB都是半圆 O的切线，可知CE＝ BE∴PD：CE＝AD：AB。五、证明线段平行例 5. 如图 5，P 为⊙ O外一点， PA、 PB为⊙ O的切线， A 和 B是切点， BC是⊙ O的直径。求证：AC∥ OP。图 5证明： 连接 AB，交 OP于点 D。∵PA、PB分别切⊙ O于点 A、B，∴PA＝PB则有∠ 1＝∠ 2，PD⊥AB，可知∠ 3＝90°由 BC是⊙ O的直径，知∠ 4＝90° ，则∠ 3＝∠ 4故 AC∥OP。［练习］如图 6，在 Rt△ABC中，∠ C＝90° ， BC＝6，AC＝3，过点 B作以 A 为圆心、 AC为半径的⊙ A 的切线，切点为D，延长 CA交⊙ A 于点 E，交切线 BD的延长线于点F，连接 DE。图 6（1）求证： ED∥AB；（2）求线段 EF的长及 sin ∠EDF 。答案： （1）略（2）2，55