1 / 12 平面向量与空间向量[ 例 1]和 a = (3, －4) 平行的单位向量是 _________；错解：因为 a 的模等于 5，所以与 a 平行的单位向量就是51 a ，即 ( 35 ，－ 45 ) 错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为 a 的模等于 5，所以与 a 平行的单位向量是51a ，即( 35 ，－ 45 ) 或( －35 ，45 ) [ 例 2] 已知 A（2，1），B（3，2），C（-1 ，4），若 A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。错解：设 D 的坐标为（ x，y），则有 x-2=-1-3 ，y-1=4-2 ，即x=-2 ，y=3。故所求 D的坐标为（ -2 ，3）。错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照 ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形 ABCD。因此，还需要分类讨论。正解：设 D的坐标为（ x，y）2 / 12 当四边形为平行四边形ABCD时， 有 x-2=-1-3 ，y-1= 4-2 ，即 x= -2 ，y= 3 。解得 D的坐标为（ -2 ，3）；当四边形为平行四边形ADBC时，有 x-2=3-（-1 ），y-1= 2-4 ，即 x= 6 ，y= -1 。解得 D的坐标为（ 6，-1 ）；当四边形为平行四边形ABDC时， 有 x-3=-1-2 ，y-2= 4-1 ，即 x= 0 ，y= 5 。解得 D的坐标为（ 0，5）。故第四个顶点D的坐标为（ -2 ，3）或（ 6，-1 ）或（ 0，5）。[ 例 3] 已知 P1(3,2) ，P2（8，3），若点 P 在直线 P1P2 上，且满足|P 1P|=2|PP 2| ，求点 P 的坐标。错解：由 |P 1P|=2|PP 2| 得，点 P 分 P1P2 所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（38,319）错因：对于 |P 1P|=2|PP 2| 这个等式， 它所包含的不仅是点P 为 P 1，P2 的内分点这一种情况，还有点P 是 P 1，P2的外分点。故须分情况讨论。正解：当点P 为 P 1，P2 的内分点时， P 分 P1P2所成的比为2，此时解得P（38,319）；当点 P 为 P 1，P2 的外分点时， P 分 P1P2 所成的比为 -2 ，此时解得 P（13，4）。3 / 12 则所求点 P 的坐标为（38,319）或（ 13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意， 注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。[ 例 4] 设向量),(11 yxa，),(22 yxb，0b，则“ba //”是“1221yxyx”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算...
