考研数学三（二次型）模拟试卷5 (题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1． 设A，B 为n 阶可逆矩阵，则( )． A．存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2 为对角矩阵 B．存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2 为对角矩阵 C．存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P 为对角矩阵 D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B 正确答案：D 解析：因为A，B 都是可逆矩阵，所以A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选 D． 知识模块：二次型 2． n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是( )． A．A 无负特征值 B．A 是满秩矩阵 C．A 的每个特征值都是单值 D．A-1 是正定矩阵 正确答案：D 解析：A 正定的充分必要条件是A 的特征值都是正数，A 不对；若A 为正定矩阵，则A 一定是满秩矩阵，但A 是满秩矩阵只能保证A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B 不对；C 既不是充分条件又不是必要条件；显然D既是充分条件又是必要条件． 知识模块：二次型 3． 下列说法正确的是( )． A．任一个二次型的标准形是唯一的 B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同 C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型 D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 正确答案：D 解析：A 不对，例如：f=x1x2，令则f=y12-y22；若令则f=y12-9y22；B 不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；C 不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一． 知识模块：二次型 4． 设A 为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX 与 XTA-1X( )． 考 研 数 学 三 (二 次 型 )模 拟 试 卷 5(题 后 含 答 案 及 解 析 )--第 1页考 研 数 学 三 (二 次 型 )模 拟 试 卷 5(题 后 含 答 案 及 解 析 )--第 1页 A． 规 范 形 与 标 准 形 都 不 一 定 相 同 B． 规 范 形 相 同 但 标 准 形 不 一 定 相 同 C． 标 准 形 相 同 但 规 范 形 不 一 定 相 同 D． 规 范 形 和 标 准 形 都 相 同 正 确 答 案 ： B 解 析 ：...
