考研数学三(二次型)模拟试卷5 (题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1. 设A,B 为n 阶可逆矩阵,则( ). A.存在可逆矩阵P1,P2,使得P1-1AP1,P2-1BP2 为对角矩阵 B.存在正交矩阵Q1,Q2,使得Q1TAQ1,Q2TBQ2 为对角矩阵 C.存在可逆矩阵P,使得P-1(A+B)P 为对角矩阵 D.存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B 正确答案:D 解析:因为A,B 都是可逆矩阵,所以A,B 等价,即存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,选 D. 知识模块:二次型 2. n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是( ). A.A 无负特征值 B.A 是满秩矩阵 C.A 的每个特征值都是单值 D.A-1 是正定矩阵 正确答案:D 解析:A 正定的充分必要条件是A 的特征值都是正数,A 不对;若A 为正定矩阵,则A 一定是满秩矩阵,但A 是满秩矩阵只能保证A 的特征值都是非零常数,不能保证都是正数,B 不对;C 既不是充分条件又不是必要条件;显然D既是充分条件又是必要条件. 知识模块:二次型 3. 下列说法正确的是( ). A.任一个二次型的标准形是唯一的 B.若两个二次型的标准形相同,则两个二次型对应的矩阵的特征值相同 C.若一个二次型的标准形系数中没有负数,则该二次型为正定二次型 D.二次型的标准形不唯一,但规范形是唯一的 正确答案:D 解析:A 不对,例如:f=x1x2,令则f=y12-y22;若令则f=y12-9y22;B 不对,两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同,不能得到其对应的矩阵的特征值相同;C 不对,若一个二次型标准形系数没有负数,只能说明其负惯性指数为0,不能保证其正惯性指数为n;选D,因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定,故其规范形唯一. 知识模块:二次型 4. 设A 为可逆的实对称矩阵,则二次型XTAX 与 XTA-1X( ). 考 研 数 学 三 (二 次 型 )模 拟 试 卷 5(题 后 含 答 案 及 解 析 )--第 1页考 研 数 学 三 (二 次 型 )模 拟 试 卷 5(题 后 含 答 案 及 解 析 )--第 1页 A. 规 范 形 与 标 准 形 都 不 一 定 相 同 B. 规 范 形 相 同 但 标 准 形 不 一 定 相 同 C. 标 准 形 相 同 但 规 范 形 不 一 定 相 同 D. 规 范 形 和 标 准 形 都 相 同 正 确 答 案 : B 解 析 :...