一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【重点、难点、考点】 重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。 ②掌握根与系数的关系及应用 难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。 考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。 【经典范例引路】 例1 若关于x的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A.m<43 B.m≤43 C.m>43且m≠2 D.m≥43且m≠2 （2001年山西省中考试题） 【解题技巧点拨】 解 C ①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax2＋bx＋c＝0 作为一元二次方程时 a≠0”的情形 解题原理：对方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0） 方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ000 Δ <0 方程没有实根 注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ >0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。 例2 先阅读下列第（1）题的解答过程 （1）已知α β 是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β 的值。 解法1 α 、β 是方程x2＋2x－7＝0的两实数根 ∴α2＋2α －7＝0 β2＋2β －7＝0 且α ＋β ＝－2 ∴α2＝7－2α β2＝7－2β ∴α2＋3β2＋4β ＝7－2α ＋3（7－2β ）＋4β ＝28－2（α ＋β ）＝28－2×（－2）＝32 解法2 由求根公式得α ＝－1＋2 2 β ＝－1－2 2 ∴α2＋3β2＋4β ＝（－1＋2 2 ）2＋3(－1－2 2 )2＋4(－1－2 2 ) ＝9－4 2 ＋3(9＋4 2 －4－8 2 )＝32 解法3 由已知得：α ＋β ＝－2 α β ＝－7 ∴α2＋β2＝（α ＋β ）2－2α β ＝18 令α2＋3β2＋4β ＝A β2＋3α2＋4α ＝B ∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α ＋β ）＝4×18＋4×（－2）＝64 ① A－B＝2(β2－α2)＋4(β －α )＝2(β ＋α ) (β －α )＋4(β －α )＝0 ② ①＋② 得：2A＝64 ∴A＝32 请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题 （2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22＋3x2－66的值。 解 x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根 ∴x1＋...
