1 / 5 第十六讲广义逆的计算及应用一、 由 Hermite 标准形求 {1}-逆任何矩阵都可由初等变换化为Hermite 标准形。设m nrAC，存在满秩矩阵m mmEC，是 EAB（Hermite 标准形）,采用置换矩阵 P：12llin nPee|e其它rIKEAP0011rIKAEP001. 求{1}-逆的方法rn mIMA 1PE KN0NL（取阶数合适的M 、L）[证明]令rIMXPENL，则1111rrrIKIMIKAXAEP PEEP00NL0011rrIKNMKLIKEP000011rrIKN(IKN)KEP0011rIKEP00A2. {1,2}-逆当 XA 1 时，由定理可知： rankXrankA 是 XA 1,2 的充要条件。2 / 5 rIMXPENL， P、 E 为满秩方阵rIMrankXrankrankArNLrrIMIM~LNM0NL0LNMrn mIMA 1,2PE KN0, LNMNL二、 由满秩分解求广义逆对 A 进行满秩分解： AFG ，m nrAC，m rrFC，r nrGC[定理] 设m nrAC，其满秩分解为 AFG ，则（1）(i)(1)GFA ii1 , 2 , 4（2）(1)(i)GFA ii1 , 2 , 3（3）(1)GFA 1,2,3 ，(1)G FA 1,2,4（4）(1,3)(1,4)AG FGF（5）HH1H1HHHH1HAG FG (GG) (F F)FG (F AG )F证明思路：（1）（2）代入相应的 Penrose方程即可证之，由（1）（2）（3）（4）（5）三、 矩阵方程 AXBD 的相容性条件及通解定理 1. 矩阵方程 AXBD 相容（有解）的充要条件：(1)(1)AADBBD在相容情况下矩阵方程的通解为：3 / 5 (1)(1)(1)(1)ADBYAAYBB| Y为阶数合适的任意矩阵[证明] 相容性条件的充分性：已知(1)(1)AADBBD ，显然有解(1)(1)XADB相容性条件的必要性：已知AXBD 有解，设某个解为 X ，即(1)(1)(1)(1)DAXBAAAXBBBAADBB现在证明通解：“通解”有两个含义： （1）解集合中的任何元素为方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。（1）令(1)(1)(1)(1)XADBYAAYBB，代入 AXBDAXBDAYBAYBD集合中的元素为方程的解（2）设 X 为方程的解，即 AXBD(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)XADBXADBADBXAAXBB对应于集合中 YX 的情况。[得证 ] 由上述证明可见：（1）通解中两个(1)A及两个(1)B完全可以不同。（2）通解集合中， 不同的 Y 完全可能对应同一个解。推论 1. 线性方程组 AXb有解的充要条件为：(1)AAbb且通解为(1)(1)nAb(IAA)y | y为列向量推论 2. A 1 (AXAA)的解 为如下集合：(1)(1)(1)(1)AAAYAAYAA（四个(1)A可互不相同）四、 极小范数解在方程有解时， 完全可能是具有无穷多个解， 实际中常常希望研究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。4 / 5 引理 1...
