1 / 5 第十六讲广义逆的计算及应用一、 由 Hermite 标准形求 {1}-逆任何矩阵都可由初等变换化为Hermite 标准形。设m nrAC,存在满秩矩阵m mmEC,是 EAB(Hermite 标准形),采用置换矩阵 P:12llin nPee|e其它rIKEAP0011rIKAEP001. 求{1}-逆的方法rn mIMA 1PE KN0NL(取阶数合适的M 、L)[证明]令rIMXPENL,则1111rrrIKIMIKAXAEP PEEP00NL0011rrIKNMKLIKEP000011rrIKN(IKN)KEP0011rIKEP00A2. {1,2}-逆当 XA 1 时,由定理可知: rankXrankA 是 XA 1,2 的充要条件。2 / 5 rIMXPENL, P、 E 为满秩方阵rIMrankXrankrankArNLrrIMIM~LNM0NL0LNMrn mIMA 1,2PE KN0, LNMNL二、 由满秩分解求广义逆对 A 进行满秩分解: AFG ,m nrAC,m rrFC,r nrGC[定理] 设m nrAC,其满秩分解为 AFG ,则(1)(i)(1)GFA ii1 , 2 , 4(2)(1)(i)GFA ii1 , 2 , 3(3)(1)GFA 1,2,3 ,(1)G FA 1,2,4(4)(1,3)(1,4)AG FGF(5)HH1H1HHHH1HAG FG (GG) (F F)FG (F AG )F证明思路:(1)(2)代入相应的 Penrose方程即可证之,由(1)(2)(3)(4)(5)三、 矩阵方程 AXBD 的相容性条件及通解定理 1. 矩阵方程 AXBD 相容(有解)的充要条件:(1)(1)AADBBD在相容情况下矩阵方程的通解为:3 / 5 (1)(1)(1)(1)ADBYAAYBB| Y为阶数合适的任意矩阵[证明] 相容性条件的充分性:已知(1)(1)AADBBD ,显然有解(1)(1)XADB相容性条件的必要性:已知AXBD 有解,设某个解为 X ,即(1)(1)(1)(1)DAXBAAAXBBBAADBB现在证明通解:“通解”有两个含义: (1)解集合中的任何元素为方程的解;(2)方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。(1)令(1)(1)(1)(1)XADBYAAYBB,代入 AXBDAXBDAYBAYBD集合中的元素为方程的解(2)设 X 为方程的解,即 AXBD(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)XADBXADBADBXAAXBB对应于集合中 YX 的情况。[得证 ] 由上述证明可见:(1)通解中两个(1)A及两个(1)B完全可以不同。(2)通解集合中, 不同的 Y 完全可能对应同一个解。推论 1. 线性方程组 AXb有解的充要条件为:(1)AAbb且通解为(1)(1)nAb(IAA)y | y为列向量推论 2. A 1 (AXAA)的解 为如下集合:(1)(1)(1)(1)AAAYAAYAA(四个(1)A可互不相同)四、 极小范数解在方程有解时, 完全可能是具有无穷多个解, 实际中常常希望研究其中具有特定性质的解,例如范数最小的解,即极小范数解。4 / 5 引理 1...